Question

Найдите все натуральные числа ,делящиеся на5 и на9,имеющие ровно 10делителей (включая единицу и само число).

Answer 1

Раз делится на 9 и 5, то это число имеет вид $3^{2+n}5^{1+k}d,$ где $n,k \geq 0$ и $d \geq 1.$ Тогда число его делителей будет равно $(3+n)(2+k)t=10$, где t - число делителей числа d. Т.к. 3>2 и 2>1 и 10 можно представить только в виде 1*10 или 2*5, то обязательно 3+n=5, т.е. n=2 и 2+k=2, т.е. k=0, а также t=1, т.е. d=1. Таким образом, возможно только $3^4\cdot 5^1=405.$

Answer 2

Давайте разберемся с задачей шаг за шагом.

1. Делятся на 5 и на 9: - Чтобы число делилось и на 5, и на 9, оно должно делиться на их произведение, то есть на 45.

2. Имеют ровно 10 делителей: - Количество делителей числа n можно выразить формулой: \[D(n) = (a_1 + 1) \cdot (a_2 + 1) \cdot \ldots \cdot (a_k + 1),\] где \(a_1, a_2, \ldots, a_k\) — показатели степеней простых чисел, на которые разлагается число \(n\). - Для того чтобы у числа было ровно 10 делителей, у нас есть несколько вариантов: - \(a_1 = 9\) (всего одно простое число в 9-й степени), - \(a_1 = 4\) и \(a_2 = 1\) (два различных простых числа в 4-й и 1-й степени соответственно).

3. Разложение числа на простые множители: - Разложим 45 на простые множители: \(45 = 3^2 \cdot 5\).

Теперь мы можем составить числа, удовлетворяющие условиям задачи: - Первый вариант: \(n = 3^9 \cdot 5\). - Второй вариант: \(n = 3^4 \cdot 5^1 \cdot 7^1\).

Таким образом, два натуральных числа, которые делятся и на 5, и на 9, и имеют ровно 10 делителей, это \(3^9 \cdot 5\) и \(3^4 \cdot 5^1 \cdot 7^1\).