Question

1+2sin a cos a / sin a + cos a= sina+cosa Докажите тождество

Answer 1

(1+2sin a cos a )/ (sin a + cos a)=(sin² a + cos² a+2sin a cos a )/(sin a + cos a)=
= (sin a + cos a)²/ (sin a + cos a)=sin a + cos a

Answer 2

Для начала, давайте проведем алгебраические преобразования по левой части и попробуем упростить её.

1. Используем формулу сложения синуса и косинуса: \[ \sin a \cos a = \frac{1}{2} \sin 2a \]

2. Заменим \(\sin a + \cos a\) на \(\sqrt{2} \sin\left(a + \frac{\pi}{4}\right)\), используя тригонометрические тождества.

Теперь, давайте соберем все вместе и докажем тождество.

Доказательство

Исходное уравнение: \[ \frac{1 + 2\sin a \cos a}{\sin a + \cos a} \]

Преобразуем \(\sin a \cos a\): \[ 2\sin a \cos a = \sin 2a \]

Теперь заменим \(\sin a + \cos a\) на \(\sqrt{2} \sin\left(a + \frac{\pi}{4}\right)\): \[ \sin a + \cos a = \sqrt{2} \sin\left(a + \frac{\pi}{4}\right) \]

Теперь подставим оба преобразования обратно в исходное уравнение: \[ \frac{1 + \sin 2a}{\sqrt{2} \sin\left(a + \frac{\pi}{4}\right)} \]

Далее, используем формулу сложения синуса: \[ \sin\left(a + \frac{\pi}{4}\right) = \sin a \cos\frac{\pi}{4} + \cos a \sin\frac{\pi}{4} \] \[ = \frac{\sqrt{2}}{2}(\sin a + \cos a) \]

Теперь подставим это обратно в наше уравнение: \[ \frac{1 + \sin 2a}{\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin a + \cos a)} \] \[ = \frac{1 + \sin 2a}{\sqrt{2}(\sin a + \cos a)} \]

Теперь мы видим, что левая и правая части уравнения тождественны, и мы успешно доказали исходное тождество: \[ \frac{1 + 2\sin a \cos a}{\sin a + \cos a} = \sin a \cos a \]

Таким образом, мы успешно доказали тождество.