Question

Помогите пожалуйста решить(ОДЗ) небольшое лог.уравнение(12 баллов). Заранее благодарю! ln(x^2-6x+9)=ln(3)+ln(x+3)

Answer 1

ОДЗ
(x-3)²≠0⇒x≠3
x+3>0⇒x>-3
x∈(-3;3) U (3;∞)
ln(x-3)²=ln(3x+9)
(x-3)²=3x+9
x²-6x+9-3x-9=0
x²-9x=0
x(x-9)=0
x=0
x=9

Answer 2

Для решения данного логарифмического уравнения, мы можем использовать свойство логарифма, согласно которому логарифм суммы двух чисел равен сумме логарифмов этих чисел.

Исходное уравнение:

ln(x^2-6x+9) = ln(3) + ln(x+3)

Мы можем применить свойство логарифма и объединить два логарифма справа:

ln(x^2-6x+9) = ln(3(x+3))

Теперь, чтобы избавиться от логарифмов, мы можем применить обратную функцию экспоненты (экспонента и логарифм являются обратными функциями) к обеим сторонам уравнения:

x^2-6x+9 = 3(x+3)

Раскрываем скобки:

x^2 - 6x + 9 = 3x + 9

Теперь перенесем все члены на одну сторону уравнения:

x^2 - 6x - 3x = 9 - 9

x^2 - 9x = 0

Так как это квадратное уравнение, мы можем попытаться его факторизовать:

x(x - 9) = 0

Отсюда получаем два возможных значения x:

x = 0 или x = 9

Проверим эти значения, подставив их в исходное уравнение:

При x = 0:

ln(0^2 - 6(0) + 9) = ln(3) + ln(0+3) ln(0 + 9) = ln(3) + ln(3) ln(9) = ln(3*3) ln(9) = ln(9)

Уравнение выполняется.

При x = 9:

ln(9^2 - 6(9) + 9) = ln(3) + ln(9+3) ln(81 - 54 + 9) = ln(3) + ln(12) ln(36) = ln(3*12) ln(36) = ln(36)

Уравнение также выполняется.

Таким образом, решение исходного уравнения ln(x^2-6x+9) = ln(3) + ln(x+3) состоит из двух значений x: x = 0 и x = 9.

Answer 3

Ограничения на допустимые значения (ОДЗ), или домен функции, являются значениями переменной, при которых функция имеет смысл и определена. Чтобы решить это логарифмическое уравнение, мы должны учесть ограничения на переменную x.

Дано уравнение: ln(x^2 - 6x + 9) = ln(3) + ln(x + 3).

Шаг 1: Приведение уравнения к эквивалентному виду

Используем свойства логарифмов, чтобы привести уравнение к эквивалентному виду:

ln(x^2 - 6x + 9) = ln(3) + ln(x + 3)

Применяем свойство логарифма, которое позволяет объединить несколько логарифмов в один:

ln[(x^2 - 6x + 9)(x + 3)] = ln(3)

Шаг 2: Упрощение уравнения

Применим свойство логарифма, которое устанавливает равенство аргументов логарифма:

(x^2 - 6x + 9)(x + 3) = 3

Раскроем скобки:

x^3 + 3x^2 - 6x^2 - 18x + 9x + 27 = 3

x^3 - 3x^2 - 9x + 24 = 0

Шаг 3: Решение уравнения

Теперь мы должны решить это кубическое уравнение. В общем случае, решение кубического уравнения может быть достаточно сложным, но в данном случае мы можем заметить, что x = 3 является решением.

Подставим x = 3 в уравнение:

3^3 - 3*3^2 - 9*3 + 24 = 0

27 - 27 - 27 + 24 = 0

0 = 0

Таким образом, x = 3 - это одно из решений.

Шаг 4: Проверка допустимых значений (ОДЗ)

Теперь мы должны проверить, является ли x = 3 допустимым значением для исходного уравнения. Поскольку в логарифме не могут быть отрицательные значения, аргументы логарифмов должны быть положительными.

Проверим ОДЗ для обоих сторон уравнения:

Для левой стороны: x^2 - 6x + 9 > 0

(x - 3)^2 > 0

Для любого x, отличного от 3, (x - 3)^2 будет положительным. Таким образом, ОДЗ для левой стороны является любыми значениями x, отличными от 3.

Для правой стороны: 3 > 0 и x + 3 > 0

Таким образом, ОДЗ для правой стороны является любыми значениями x, для которых x > -3.

Ответ:

Итак, решение данного логарифмического уравнения ln(x^2 - 6x + 9) = ln(3) + ln(x + 3) является x = 3, при условии, что x принадлежит интервалу (-∞, -3) объединенному с интервалом (-3, 3) объединенному с интервалом (3, +∞).