Question

Розкласти на суму простих дробів x/(x^3-1)

Answer 1

X/(x-1)(x²+x+1)=1/3(x-1) -(x-1)/3(x²+x+1)
A/(x-1) +(Bx+C)/(x²+x+1)
Ax²+Ax+A+Bx²-Bx+Cx-C=x
x²(A+B)+x(A-B+C)+(A-C)=x
A+B=0⇒B=-A
A-B+C=1
A-C=0⇒C=A
A+A+A=1⇒A=1/3⇒B=-1/3 U C=1/3

Answer 2

X/(x^3-1)=A/x-1 + (Bx+C)/x^2+x+1=[приводим к общему знаменателю]=Ax^2+Ax+A+Bx^2-Bx+Cx-C
A+B=0
A-B+C=1
A-C=0
выражаем А,B and C
A=1/3
B=-1/3
C=1/3
1/3(x-1)-(x-1)/3(x^2+x+1)-это и есть разложение на сумму простейших дробей

Answer 3

Для того, щоб розкласти на суму простих дробів x/(x^3-1), потрібно спочатку розкласти знаменник на множники. Знаменник x^3-1 можна розкласти за формулою різниці кубів: x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1). Тоді дріб x/(x^3-1) можна переписати як x/((x-1)(x^2+x+1)). Далі, за методом невизначених коефіцієнтів, шукаємо такі константи A, B і C, що x/((x-1)(x^2+x+1)) = A/(x-1) + (Bx+C)/(x^2+x+1). Для цього множимо обидві частини рівності на спільний знаменник (x-1)(x^2+x+1) і отримуємо x = A(x^2+x+1) + (Bx+C)(x-1). Розкриваючи дужки і прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях x, маємо систему рівнянь:

A + B = 0 A - C = 0 A + C = 1

Розв'язуючи систему, знаходимо A = 1/2, B = -1/2, C = 1/2. Отже, розклад на суму простих дробів має вигляд:

x/(x^3-1) = 1/(2(x-1)) - (x-1)/(2(x^2+x+1))

Це відповідь на ваше запитання. Якщо ви хочете дізнатися більше про розкладання на прості дроби, ви можете переглянути [статтю](https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0%BE%D0%B7%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%BD%D0%B0_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96_%D0%B4%D1%80%D0%BE%D0%B1%D0%B8) з Вікіпедії або [сервіс](https://ua.onlinemschool.com/math/assistance/fraction/fraction_calc/) для розрахунків з дробами.