Question

Решите первенство (x^2+1)(x^2+x+1)^3(x+5)^5<0

Answer 1

(x^2+1  всегда больше 0, значит на знак нер-ва не влияет

(x^2+x+1 всегда больше 0, т.к. Д меньше 0, а коэф а=1 больше 0, значит на знак нер-ва не влияет

остается (x+5)^5<0,  х=-5 - корень выражения, наносим на числовой луч, точка выколотая (не закрашенная) справа знак +, слева знак -

итого ответ хе от минус бесконечности, до -5, обе скобки круглые

Answer 2

Для начала рассмотрим уравнение в его общем виде, чтобы лучше понять его поведение:

(x^2 + 1)(x^2 + x + 1)^3(x + 5)^5 < 0

Нахождение корней

Для решения неравенства сначала найдем корни уравнения. Чтобы упростить обозначения, обозначим u = (x^2 + 1), v = (x^2 + x + 1), и w = (x + 5). Тогда наше неравенство будет выглядеть следующим образом:

u * v^3 * w^5 < 0

Найдем корни каждого множителя, чтобы понять, где функция меняет знак.

Корни u: u = (x^2 + 1) = 0 x^2 = -1 x = ±i

Корни v: v = (x^2 + x + 1) = 0 Для нахождения корней квадратного уравнения используем дискриминант D = b^2 - 4ac: D = 1^2 - 4*1*1 = 1 - 4 = -3 Так как D < 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Корни w: w = (x + 5) = 0 x = -5

Анализ интервалов

Теперь, когда мы нашли корни каждого множителя, мы можем разбить ось x на интервалы и изучить знаки каждого множителя в этих интервалах.

1. Интервал (-бесконечность, -5): - u, v, и w все отрицательные, поэтому произведение отрицательное.

2. Интервал (-5, -i): - u и w положительные, v отрицательное, произведение отрицательное.

3. Интервал (-i, i): - u и v отрицательные, w положительное, произведение отрицательное.

4. Интервал (i, -5): - u и w положительные, v отрицательное, произведение отрицательное.

5. Интервал (5, +бесконечность): - u, v, и w все положительные, поэтому произведение положительное.

Ответ

Таким образом, неравенство (x^2 + 1)(x^2 + x + 1)^3(x + 5)^5 < 0 выполняется на интервалах (-бесконечность, -5), (-5, -i), (i, 5).