Question

Постройте график функции y=-x^2+2x-3.Найдите:а) наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [2;5];б) промежутки возрастания и убывания функции

Answer 1

наибольшее значение функции при х=5 у=25+10-3=32

наименьшее значение функции при х=2 у=4+4-3=5

убывает на промежутке от - бесконечности до 1

возрастает от 1 до + бесконечности

Answer 2

Для построения графика функции y = -x^2 + 2x - 3 и нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке [2;5], а также промежутков возрастания и убывания функции, нам потребуется выполнить следующие шаги:

Шаг 1: Построение графика функции Для начала построим график функции y = -x^2 + 2x - 3. Для этого можно использовать графический инструмент или программное обеспечение для построения графиков, такое как Python с библиотекой matplotlib.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Создаем массив значений x от 2 до 5 с шагом 0.1
x = np.arange(2, 5.1, 0.1)

# Вычисляем значения функции y = -x^2 + 2x - 3 для каждого значения x
y = -x**2 + 2*x - 3

# Строим график функции
plt.plot(x, y)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Graph of y = -x^2 + 2x - 3')
plt.grid(True)
plt.show()

Полученный график будет представлять параболу, обращенную вниз, с вершиной в точке (1, -4).

Шаг 2: Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке [2;5] Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке [2;5] нам нужно вычислить значения функции на концах этого отрезка и найти наибольшее и наименьшее из этих значений.

Вычислим значения функции на концах отрезка: - Для x = 2: y = -2^2 + 2*2 - 3 = -1 - Для x = 5: y = -5^2 + 2*5 - 3 = -13

Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке [2;5] равно -1, а наименьшее значение равно -13.

Шаг 3: Нахождение промежутков возрастания и убывания функции Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции необходимо проанализировать знак производной функции. Если производная положительна, то функция возрастает, если отрицательна - функция убывает.

Вычислим производную функции y = -x^2 + 2x - 3: y' = -2x + 2

Найдем значения x, при которых производная равна нулю: -2x + 2 = 0 2x = 2 x = 1

Теперь мы знаем, что функция меняет свой рост на убывание (или убывание на рост) в точке x = 1. Таким образом, промежутки возрастания функции находятся слева и справа от этой точки.

Анализируя знак производной, можно сделать выводы о промежутках возрастания и убывания функции: - Функция возрастает на промежутке (-∞, 1) - Функция убывает на промежутке (1, +∞)

Ответ: а) Наибольшее значение функции на отрезке [2;5] равно -1, а наименьшее значение равно -13. б) Промежутки возрастания функции: (-∞, 1) Промежутки убывания функции: (1, +∞)

Построенный график функции также поможет визуализировать результаты и лучше понять поведение функции на заданном отрезке.