Question

Помогите пожалуйста решить тригонометрическое уравнение!очень нужно ctg^2x-tg^2x=4cos2x

Answer 1

Cos²x/sin²x-sin²x/cos²x=4cos2x
(cos^4x-sin^4x)/sin²xcos²x=4cos2x
(cos²x-sin²x)(cos²x+sin²x)/sin²xcos²x=4cos2x
4cos2x/sin²2x=4cos2x
4cos2x=4cos2x*sin²2x,sin²2x≠0
{4cos2x-4cos2x*sin²2x=0
{sin²2x≠0
4cos2x(1-sin²2x)=0
cos2x=0⇒2x=π/2+πk,k∈z⇒x=π/4+πk/2,k∈z
1-sin²2x=0
sin²2x=1
(1-cos4x)/2=1
1-cos4x=2
cos4x=-1⇒4x=π+2πk,k∈z⇒x=π/4+πk/2,k∈z
Ответ x=π/4+πk/2,k∈z

Answer 2

Решение тригонометрического уравнения

Давайте начнем с преобразования данного уравнения с использованием тригонометрических тождеств. Мы можем использовать тождество тангенса и котангенса, чтобы упростить уравнение.

1. Преобразование тангенса и котангенса:

Тригонометрические тождества для тангенса и котангенса: - ctg(x) = 1 / tan(x) - tg(x) = 1 / ctg(x)

Теперь мы можем заменить ctg(x) и tg(x) в уравнении, чтобы упростить его.

2. Замена ctg(x) и tg(x):

Уравнение: ctg^2(x) - tg^2(x) = 4cos(2x)

Давайте заменим ctg(x) и tg(x) через их эквиваленты: - ctg(x) = 1 / tan(x) - tg(x) = 1 / ctg(x)

Уравнение примет вид: - (1/tan(x))^2 - (1/ctg(x))^2 = 4cos(2x)

3. Преобразование косинуса:

Для упрощения уравнения, мы можем также использовать тригонометрическое тождество для косинуса удвоенного угла: - cos(2x) = 2cos^2(x) - 1

4. Замена косинуса:

Теперь мы можем заменить cos(2x) в уравнении: - (1/tan(x))^2 - (1/ctg(x))^2 = 4(2cos^2(x) - 1)

5. Преобразование тангенса и котангенса:

Мы также можем заменить tan(x) через sin(x) и cos(x), и ctg(x) через cos(x) и sin(x): - (cos(x)/sin(x))^2 - (sin(x)/cos(x))^2 = 8cos^2(x) - 4

6. Поиск общего знаменателя:

Чтобы упростить уравнение, найдем общий знаменатель для дробей: - (cos^2(x) - sin^2(x)) / (sin^2(x) * cos^2(x)) = 8cos^2(x) - 4

7. Использование тождества для синуса и косинуса:

Мы можем заменить sin^2(x) и cos^2(x) через их эквиваленты, используя тождество: - (cos^2(x) - (1 - cos^2(x))) / ((1 - cos^2(x)) * cos^2(x)) = 8cos^2(x) - 4 - (2cos^2(x) - 1) / (cos^2(x) - cos^4(x)) = 8cos^2(x) - 4

8. Приведение уравнения к общему знаменателю:

Умножим обе стороны уравнения на (cos^2(x) - cos^4(x)): - (2cos^2(x) - 1) = (8cos^2(x) - 4)(cos^2(x) - cos^4(x))

9. Получение квадратного уравнения:

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение относительно cos(x).

10. Решение квадратного уравнения:

Решим полученное квадратное уравнение и найдем значения cos(x).

11. **П