Question

1. решить предел Лапиталем: lim(x->0) ((ln sin2x)/(ln sinx))

Answer 1

По правилу Лопиталя

$\lim_{x \to 0}\frac{\ln sin2x}{\ln sinx}=\frac{-\infty}{-\infty}$

т.е. правило Лопиталя применять можно

Применяем

$\lim_{x \to 0}\frac{\ln \sin2x}{\ln \sin x}=\lim_{x \to 0}\frac{(\ln \sin2x)'}{(\ln \sin x)'}=\\ \lim_{x \to 0}\frac{\frac{1}{\sin2x}\cos2x*2}{\frac{1}{\sin x}*\cos x}=\lim_{x \to 0}\frac{2*\cos2x*\sin x}{\sin2x*\cos x}=\\ \lim_{x \to 0}\frac{2*\cos2x*\sin x}{2 \sin x*\cos x*\cos x}=\lim_{x \to 0}\frac{\cos2x}{ \cos^2 x}=\\ \frac{\cos 0}{ \cos^2 0}=\frac{1}{1}=1$

 

Answer 2

n 2x = 2 sinx * cos x
выносим из числителя 2 sinx. lim(x->0) 2 sinx/ х = 2
осталось вычислить lim(x->0) [cos x - 1 ] / ln cos(5x) неопределенность 0 на 0.
Проще всего по Лопиталю - вычислить производные числителя и знаменателя
Без Лопиталя
cos x -1 = - 2 sin^2 (x/2)
ln cos(5x) = ln [1+ ( cos 5x - 1) ] = ln [ 1- 2 sin^2 (5x/2) ]
---> - 2 sin^2 (5x/2)
после подстановки имеем
lim(x->0) { - 2 sin^2 (x/2) } / { - 2 sin^2 (5x/2) } = lim(x->0) { x^2/4 * [ sin^2 (x/2) / (x/2)^2} / { 25 x^2/4 * [sin^2 (5x/2)/(5x/2)^2 }=
= lim(x->0) { x^2 / 25 x^2 } =1/25

[ sin^2 (x/2) / (x/2)^2}=1 [sin^2 (5x/2)/(5x/2)^2 =1

Answer 3

Для решения предела Лапиталем, мы будем использовать правило Лопиталя, которое гласит, что если предел функции f(x) при x стремящемся к a равен 0/0 или бесконечность/бесконечность, то предел можно найти как предел производных функций f(x) и g(x).

Итак, начнем с вычисления производных функций в числителе и знаменателе предела.

Производная ln(sin(2x)) равна (1/sin(2x))*(cos(2x)*2), что можно упростить до 2cos(2x)/sin(2x). Производная ln(sin(x)) равна 1/sin(x)*cos(x).

Теперь мы можем вычислить предел производных: lim(x->0) ((2cos(2x)/sin(2x))/(1/sin(x)*cos(x))).

Далее упрощаем выражение: lim(x->0) ((2cos(2x)/sin(2x))/(1/sin(x)*cos(x))) = lim(x->0) ((2cos(2x)*sin(x)*cos(x))/(sin(2x))).

Теперь мы можем подставить x=0 в полученное выражение: (2cos(0)*sin(0)*cos(0))/(sin(0)) = 0.

Таким образом, предел функции при x стремящемся к 0 равен 0.