Question

Найдите max и min значения заданной функции на промежутке: У=-2tg x на отрезке [0; п/6]

Answer 1

$y=-2tgx\\\\y'=-2\cdot \frac{1}{cos^2x}\ \textless \ 0\; \; pri\; \; x\in (-\infty ,+\infty ) \; \; \Rightarrow$

Функция y= -2tgx - убывающая функция, не имеющая точек экстремума. Значит наибольшее значение функция принимает в левой точке указанного промежутка, а наименьшее значение она принимает в правой точке промежутка.

$x\in [\, 0,\; \frac{\pi}{6}\, ]\ \; \to \\\\ y(0)=-2tg0=0=y_{naibol}\; ,\\\\ y(\frac{\pi}{6})=-2tg\frac{\pi}{6}=-\frac{2}{\sqrt3}=-\frac{2\sqrt3}{3}=y_{naimen}$

Answer 2

Для нахождения максимального и минимального значений функции \( y = -2 \cdot \tan(x) \) на отрезке \([0, \frac{\pi}{6}]\) мы можем использовать производные функции.

Нахождение производной функции

Для начала, найдем производную функции \( y = -2 \cdot \tan(x) \). Для этого воспользуемся знанием производной тангенса:

\[ \frac{d}{dx} \tan(x) = \sec^2(x) \]

Теперь найдем производную функции \( y = -2 \cdot \tan(x) \):

\[ \frac{d}{dx} (-2 \cdot \tan(x)) = -2 \cdot \frac{d}{dx} \tan(x) = -2 \cdot \sec^2(x) \]

Нахождение критических точек

Теперь найдем критические точки, где производная равна нулю или не существует. Найдем значение \( x \) для которого производная равна нулю:

\[ -2 \cdot \sec^2(x) = 0 \]

Делая замену \(\sec^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}\), уравнение превращается в:

\[ \frac{-2}{\cos^2(x)} = 0 \]

Это уравнение не имеет решений, так как в знаменателе у нас не может быть нуля. Следовательно, производная не обращается в нуль на отрезке \([0, \frac{\pi}{6}]\).

Исследование на крайние точки

Теперь нам нужно проверить значения функции на концах отрезка, то есть при \(x = 0\) и \(x = \frac{\pi}{6}\):

При \(x = 0\): \[ y(0) = -2 \cdot \tan(0) = 0 \]

При \(x = \frac{\pi}{6}\): \[ y(\frac{\pi}{6}) = -2 \cdot \tan(\frac{\pi}{6}) = -2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = -\frac{2\sqrt{3}}{3} \]

Ответ

Таким образом, на отрезке \([0, \frac{\pi}{6}]\) функция \( y = -2 \cdot \tan(x) \) достигает максимального значения 0 при \(x = 0\) и минимального значения \(-\frac{2\sqrt{3}}{3}\) при \(x = \frac{\pi}{6}\).