Question

Упростите выражение sin(a+b)+sin(a-b)/cosAcosB

Answer 1

Sin(a+b)/cosa*cosb=(sina*cosb+cosa*sinb)/cosa*cosb=tga+tgb; 2)преобразуя получим tg3a; 3)sin70*+cos(90*+70*)=sin70*-sin70*=0

Answer 2

Для упрощения данного выражения, мы можем использовать формулу синуса суммы и разности двух углов:

sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b) sin(a - b) = sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b)

Заметим, что выражение sin(a + b)sin(a - b) похоже на разность квадратов:

sin(a + b)sin(a - b) = (sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b))(sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b))

Мы можем раскрыть скобки и упростить это выражение:

sin(a + b)sin(a - b) = sin^2(a)cos^2(b) - cos^2(a)sin^2(b)

Заметим, что sin^2(a) = 1 - cos^2(a) и sin^2(b) = 1 - cos^2(b), поэтому мы можем заменить их в выражении:

sin(a + b)sin(a - b) = (1 - cos^2(a))(1 - cos^2(b))cos^2(a)cos^2(b)

Теперь мы можем использовать формулу для cos(a)cos(b):

cos(a)cos(b) = (cos(a + b) + cos(a - b))/2

Подставим это в наше выражение:

sin(a + b)sin(a - b) = (1 - cos^2(a))(1 - cos^2(b))((cos(a + b) + cos(a - b))/2)^2

Теперь мы можем упростить это выражение дальше, раскрыв скобки и упростив числитель:

sin(a + b)sin(a - b) = (1 - cos^2(a))(1 - cos^2(b))(cos^2(a + b) + 2cos(a + b)cos(a - b) + cos^2(a - b))/4

Затем мы можем раскрыть скобки и упростить выражение:

sin(a + b)sin(a - b) = (1 - cos^2(a))(1 - cos^2(b))(cos^2(a)cos^2(b) - sin^2(a)sin^2(b) + 2cos(a + b)cos(a - b))/4

Далее мы можем заменить sin^2(a) = 1 - cos^2(a) и sin^2(b) = 1 - cos^2(b):

sin(a + b)sin(a - b) = (1 - cos^2(a))(1 - cos^2(b))(cos^2(a)cos^2(b) - (1 - cos^2(a))(1 - cos^2(b)) + 2cos(a + b)cos(a - b))/4

Теперь мы можем упростить числитель и получить окончательный результат:

sin(a + b)sin(a - b) = (1 - cos^2(a))(1 - cos^2(b))(cos^2(a)cos^2(b) - (1 - cos^2(a))(1 - cos^2(b)) + 2cos(a + b)cos(a - b))/4

В результате, мы получили упрощенное выражение для sin(a + b)sin(a - b).