Question

Решить уравнение: sin2x+2ctgx=3

Answer 1

$\sin2x+2ctg x=3\\ 2\sin x\cos x+2\cdot \dfrac{\cos x}{\sin x}=3 \\ \\ 2\sin x\cdot \bigg| \sqrt{1-\sin^2x}\, \bigg|+2\cdot \dfrac{\bigg| \sqrt{1-\sin^2x}\,\bigg| }{\sin x} =3$
Пусть $\sin x =t$, тогда получаем:
$2t\bigg| \sqrt{1-t^2} \,\bigg|+2\cdot \dfrac{\bigg| \sqrt{1-t^2} \,\bigg|}{t} =3$

ОДЗ: $1-t^2 \ \textgreater \ 0;\,\,\,\, and\,\,\,\,\,\, t\ne 0$

$2t \sqrt{1-t^2} +2\cdot \dfrac{\sqrt{1-t^2}}{t} =3 |\cdot t\\ \\ 2t^2 \sqrt{1-t^2} +2 \sqrt{1-t^2} =3t\\ \\ 2 \sqrt{1-t^2} (t^2+1)=3t$

Возведем обе части в квадрат

$4(1-t^2)(t^2+1)^2=9t^2$
Пусть $t^2=a$, причем $a \geq 0$

$-4(a-1)(a+1)^2-9a=0\\ -4a^3-4a^2+4a+4-9a=0\\ 4a^3+4a^2+5a-4=0$
Добавим и вычтем некоторые слагаемые:
$4a^3-2a^2+6a^2-3a+8a-4=0\\ 2a^2(2a-1)+3a(2a-1)+4(2a-1)=0\\ (2a-1)(2a^2+3a+4)=0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$2a-1=0\\ a=\dfrac{1}{2}$

$2a^2+3a+4=0$
Вычислим дискриминант квадратного уравнения:
$D=b^2-4ac=3^2-4\cdot2\cdot 4 \ \textless \ 0$
$D\ \textless \ 0$, значит квадратное уравнение действительных корней не имеет.

Обратная замена

$t^2=\dfrac{1}{2}\\ \\ t=\pm\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

Корень $x=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ - лишний

$x= \dfrac{\pi}{4} +\pi k,k \in \mathbb{Z}$