Question

|x+3| - |x-5|= x+1решить помогите пожалуйста Дам 5 звезд и спасибо

Answer 1

Раскрываем знак модуля.
Надо рассмотреть четыре случая
1)  х≥-3 и х≥5  ⇒  х≥5
тогда  по определению модуль положительного выражения равен этому выражению
|x+3|=x+3,    |x-5|=x-5
уравнение примет вид
х+3-х+5=х+1
 х=7
проверяем удовлетворяет ли корень условию х≥5
х=7 - корень ,так как  удовлетворяет условию 7≥5
 2) х<-3 и х<5  ⇒ х<-3
тогда по определению модуль отрицательного выражения равен противоположному выражению
 |x+3|=-(x+3),   |x-5|=-x+5
 уравнение примет вид -х-3+х-5=х+1,
 х=-9 - корень, так как удовлетворяет условию -9<-3
 3) х≥-3 и x<5  ⇒ х∈[-3;5)
тогда |x+3|=x+3, x<5 |x-5|=-x+5
Уравнение примет вид
х+3+х-5=х+1,
х=3 -корень, так как входит в [-3;5)
 4) случай x<-3 и х ≥5 не будет иметь решений , так как множества (-∞;-3] и [5;+∞)  не пересекаются.

Зная, что всегда выполняются только три случая, можно  решать данное  уравнение методом интервалов.
х=-3 и х =5 - точки, в которых подмодульные выражения меняют знак
Эти точки разбивают числовую прямую на три промежутка
1)(-∞;-3]   
На этом промежутке оба подмодульных выражения отрицательны
|x+3|=-(x+3),   |x-5|=-x+5
 уравнение примет вид -х-3+х-5=х+1,
 х=-9 - корень
-9∈(-∞;-3]
2)(-3;5]
На этом промежутке первое подмодульное выражение неотрицательно, а второе отрицательно, поэтому
 |x+3|=x+3, x<5 |x-5|=-x+5
Уравнение примет вид
х+3+х-5=х+1,
х=3 -корень, так как х∈ [-3;5)
3)(5;+∞)
Оба подмодульных выражения неотрицательны,поэтому по определению модуль положительного выражения равен этому выражению
|x+3|=x+3,    |x-5|=x-5
уравнение примет вид
х+3-х+5=х+1
 х=7
7∈[5;+∞)
Ответ. -9; 3; 7

Answer 2

Для решения уравнения |x + 3| + |x - 5| = x + 1, мы можем использовать метод подстановки. Давайте рассмотрим каждую возможность по очереди.

Подстановка x < -3:

Если x < -3, то |x + 3| = -(x + 3), а |x - 5| = -(x - 5). Подставим это в уравнение:

-(x + 3) - (x - 5) = x + 1

Раскроем скобки и упростим:

-x - 3 - x + 5 = x + 1

-2x + 2 = x + 1

Перенесем все переменные на одну сторону:

-3x = -1

x = 1/3

Подстановка -3 < x < 5:

Если -3 < x < 5, то |x + 3| = x + 3, а |x - 5| = -(x - 5). Подставим это в уравнение:

(x + 3) - (x - 5) = x + 1

Раскроем скобки и упростим:

x + 3 - x + 5 = x + 1

8 = x + 1

x = 7

Подстановка x > 5:

Если x > 5, то |x + 3| = x + 3, а |x - 5| = x - 5. Подставим это в уравнение:

(x + 3) + (x - 5) = x + 1

Раскроем скобки и упростим:

2x - 2 = x + 1

Перенесем все переменные на одну сторону:

x = 3

Ответ:

Таким образом, уравнение |x + 3| + |x - 5| = x + 1 имеет три решения: x = 1/3, x = 7 и x = 3.