Question

Помогите пожалуйста найти предел последовательности стремящуюся к бесконечности : sqrt(n^2 + 3n)-sqrt(n2-3n)

Answer 1

                                                          Решение:

 

 sqrt(n^2+3n)-sqrt(n^2-3n)=sqrt(n)*6/(sqrt(n+3)+sqrt(n-3))=6/(sqrt(1+3/n)+sqrt(1-3/n))
при n стремящимся к бесконечности знаменатель стремится к 2.,а вся дробь к 3.

Answer 2

Для нахождения предела последовательности, стремящейся к бесконечности, вам нужно проанализировать выражение и использовать математические методы для определения его предела. В данном случае у вас есть выражение sqrt(n^2 + 3n) - sqrt(n^2 - 3n).

Давайте разберемся с этим выражением.

Раскрытие корней

Сначала раскроем корни в данном выражении:

sqrt(n^2 + 3n) = sqrt(n(n + 3)) sqrt(n^2 - 3n) = sqrt(n(n - 3))

Упрощение

Теперь применим разность квадратов для упрощения выражения:

sqrt(n(n + 3)) - sqrt(n(n - 3)) = sqrt(n(n + 3)) - sqrt(n(n - 3)) * (sqrt(n(n + 3)) + sqrt(n(n - 3))) / (sqrt(n(n + 3)) + sqrt(n(n - 3)))

Разделим оба числителя и знаменателя на sqrt(n(n + 3)) + sqrt(n(n - 3)):

(sqrt(n(n + 3)) - sqrt(n(n - 3))) / (sqrt(n(n + 3)) + sqrt(n(n - 3))) = ((sqrt(n(n + 3)) - sqrt(n(n - 3))) / (sqrt(n(n + 3)) + sqrt(n(n - 3)))) * ((sqrt(n(n + 3)) - sqrt(n(n - 3))) / (sqrt(n(n + 3)) - sqrt(n(n - 3))))

Упрощение дроби

Далее, упростим дробь в числителе:

((sqrt(n(n + 3)) - sqrt(n(n - 3))) / (sqrt(n(n + 3)) + sqrt(n(n - 3)))) * ((sqrt(n(n + 3)) - sqrt(n(n - 3))) / (sqrt(n(n + 3)) - sqrt(n(n - 3)))) = ((n(n + 3) - n(n - 3)) / (sqrt(n(n + 3)) + sqrt(n(n - 3)))) * ((sqrt(n(n + 3)) - sqrt(n(n - 3))) / (sqrt(n(n + 3)) - sqrt(n(n - 3))))

Упрощение числителя

Продолжим упрощение числителя:

((n(n + 3) - n(n - 3)) / (sqrt(n(n + 3)) + sqrt(n(n - 3)))) * ((sqrt(n(n + 3)) - sqrt(n(n - 3))) / (sqrt(n(n + 3)) - sqrt(n(n - 3)))) = (6n / (sqrt(n(n + 3)) + sqrt(n(n - 3)))) * ((sqrt(n(n + 3)) - sqrt(n(n - 3))) / (sqrt(n(n + 3)) - sqrt(n(n - 3))))

Упрощение знаменателя

Теперь упростим знаменатель:

(sqrt(n(n + 3)) + sqrt(n(n - 3)))) * ((sqrt(n(n + 3)) - sqrt(n(n - 3))) / (sqrt(n(n + 3)) - sqrt(n(n - 3)))) = (sqrt(n(n + 3)) + sqrt(n(n - 3)))) * ((sqrt(n(n + 3)) - sqrt(n(n - 3))) / (sqrt(n(n + 3)) - sqrt(n(n - 3)))) * (sqrt(n(n + 3)) + sqrt(n(n - 3)))) / (sqrt(n(n + 3)) + sqrt(n(n - 3))))

Упрощение дроби

Продолжим упрощение дроби:

(sqrt(n(n + 3)) + sqrt(n(n - 3)))) * ((sqrt(n(n + 3)) - sqrt(n(n - 3))) / (sqrt(n(n + 3)) - sqrt(n(n - 3)))) * (sqrt(n(n + 3)) + sqrt(n(n - 3)))) / (sqrt(n(n + 3)) + sqrt(n(n - 3)))) = (n(n + 3) + 6n + n(n - 3)) / (sqrt(n(n + 3)) + sqrt(n(n - 3))))

Упрощение числителя

Продолжим упрощение числителя:

(n(n + 3) + 6n + n(n - 3)) / (sqrt(n(n + 3)) + sqrt(n(n - 3)))) = (2n^2 + 6n) / (sqrt(n(n + 3)) + sqrt(n(n - 3))))

Упрощение выражения

В итоге, после упрощений, имеем следующее выражение:

sqrt(n^2 + 3n) - sqrt(n^2 - 3n) = (2n^2 + 6n) / (sqrt(n(n + 3)) + sqrt(n(n - 3)))

Определение предела

Для определения предела данной последовательности, когда n стремится к бесконечности, мы должны рассмотреть поведение числителя и знаменателя.

Числитель данного выражения имеет степень n^2, а знаменатель содержит квадратный корень от n(n + 3) и n(n - 3). Поскольку степень числителя больше, чем степень знаменателя, мы можем упростить выражение, игнорируя меньшие степени.

Таким образом, предел данной последовательности, когда n стремится к бесконечности, будет равен 2.

Ответ: Предел последовательности sqrt(n^2 + 3n) - sqrt(n^2 - 3n), когда n стремится к бесконечности, равен 2.