Question

Y=x^4/x^4+1 ( от - бесконечности до + бесконечности

Answer 1

Упростим дробь, для чего разделим числитель на знаменатель.
x^4/(x^4+1) = 1-1/(x^4+1).
Анализируем полученную функцию на экстремумы, для чего нужно отыскать точки, где первая производная обращается в ноль.
Находим производную функции: 4x^3/(x^4+1)^2.
Она обращается в ноль в единственной точке х=0.
Проверим, что достигается в этой точке - максимум, или минимум.
Анлизируем знак второй производной при х=0.
Находим вторую производную: -32x^6/(x^4+1)^3+12x^2/(x^4+1)^2
При х=0 вторая производная обращается в ноль, следовательно точка х=0 может и не быть точкой экстремума.
Проанализируем поведение функции y=1-1/(x^4+1) в окрестности точки х=0
Вследствие четной степени х функция является четной, т.е. её значение не зависит от знака х. При х=0 значение функции равно 0. При х=1 значение функции равно 1/2. При х=2 значение функции равно 8/9 и.т.д. Т.е. мы видим, что с ростом х значение функции растет. При х, стремящемся к бесконечности, значение функции стремится к 1 (значение дроби 1/(х^4+1) стремится к нулю).
Поэтому в точке х=0 мы имеем минимум.
Максимум функции достигается при плюс и минус бесконечности., поэтому можно говорить, что функция максимума не имеет.
 

Answer 2

Для вычисления предела \( Y = \frac{x^4}{x^4 + 1} \) при \( x \) стремящемся к бесконечности, давайте рассмотрим этот предел.

При \( x \to \infty \), можно упростить выражение, подставив бесконечность вместо \( x \):

\[ Y = \frac{\infty^4}{\infty^4 + 1} \]

Однако, такие выражения в неопределенной форме (\(\frac{\infty}{\infty}\)) требуют дополнительного рассмотрения. Мы можем применить правило Лопиталя, которое гласит, что если предел отношения двух функций в неопределенной форме \(\frac{0}{0}\) или \(\frac{\infty}{\infty}\) существует, то предел отношения производных этих функций равен исходному пределу:

\[ \lim_{{x \to \infty}} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{{x \to \infty}} \frac{f'(x)}{g'(x)} \]

В данном случае, функции \(f(x)\) и \(g(x)\) представлены следующим образом:

\[ f(x) = x^4 \] \[ g(x) = x^4 + 1 \]

Найдем производные по \(x\):

\[ f'(x) = 4x^3 \] \[ g'(x) = 4x^3 \]

Теперь применим правило Лопиталя:

\[ \lim_{{x \to \infty}} \frac{x^4}{x^4 + 1} = \lim_{{x \to \infty}} \frac{4x^3}{4x^3} \]

Далее можно упростить выражение, сократив обе стороны на \(4x^3\):

\[ \lim_{{x \to \infty}} \frac{x^4}{x^4 + 1} = \lim_{{x \to \infty}} \frac{1}{1} = 1 \]

Таким образом, предел функции \( Y \) при \( x \to \infty \) равен 1.