Question

Помогите пожалуйста решить. Нужно вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=1-x^3 y=0 x=-1

Answer 1

$\int\limits^{1}_{-1} {1-x^3} \, dx=x-\frac{x^4}{4}=\\ 1-\frac{1}{4}-(-1-\frac{1}{4})=2$

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной указанными линиями, можно воспользоваться методом интегрирования. Для начала, найдем точки пересечения указанных линий.

Уравнения линий: 1) y = 1 - x^3 2) y = 0 3) x = -1

Чтобы найти точки пересечения линии 1) и линии 2), подставим уравнение линии 2) в уравнение линии 1): 0 = 1 - x^3 x^3 = 1 x = 1^(1/3) x = 1

Таким образом, точки пересечения линии 1) и линии 2): (1, 0).

Теперь посмотрим, в каком интервале находится x между линиями 1) и 3). Подставим x = -1 в уравнение линии 1):

y = 1 - (-1)^3 y = 1 - (-1) y = 2

Таким образом, между линиями 1) и 3) находится пустой интервал.

Теперь можем приступить к вычислению площади фигуры. Интервал, в котором будем вычислять площадь, будет от x = -1 до x = 1.

Площадь фигуры можно вычислить по формуле интеграла от функции y(x) на указанном интервале:

S = ∫[a,b] y(x) dx

где a = -1 и b = 1.

Теперь воспользуемся уравнениями линий для выражения y(x):

1) y = 1 - x^3 2) y = 0

Подставим в формулу для площади:

S = ∫[-1,1] (1 - x^3) dx

Далее, интегрируем:

S = ∫[-1,1] dx - ∫[-1,1] (x^3) dx

Первое слагаемое равно просто разности границ интегрирования: S = (x)∣[-1,1] - ∫[-1,1] (x^3) dx

Вычисляем первое слагаемое:

(x)∣[-1,1] = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2

Теперь вычисляем второе слагаемое:

∫[-1,1] (x^3) dx = [x^4/4]∣[-1,1] = (1/4)[1^4 - (-1)^4] = (1/4)[1 - 1] = 0

Подставляем значения в исходную формулу:

S = 2 - 0 S = 2

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = 1 - x^3, y = 0 и x = -1, равна 2 квадратным единицам.