Question

Необходимое условие экстремума функции.

Answer 1

В точке экстремума значение 1 производной функции должно быть равно нулю (или первой производной не существует).

Answer 2

Необходимое условие экстремума функции связано с её производной. Для функции \( f(x) \), точка \( x = c \) считается критической (или стационарной), если её производная равна нулю или не существует. Формально это записывается как:

\[ f'(c) = 0 \text{ или } f'(c) \text{ не существует.} \]

Таким образом, если функция имеет локальный экстремум в точке \( c \), то её производная в этой точке должна быть равна нулю или не существовать. Это условие называется необходимым условием экстремума.

Однако важно отметить, что не все точки, где производная равна нулю или не существует, являются точками экстремума. Такие точки могут быть точками перегиба (инфлекции) или особыми точками функции.

Чтобы определить, является ли точка, где производная равна нулю или не существует, точкой экстремума, часто используют вторую производную. Вторая производная \( f''(c) \) позволяет сделать вывод о характере точки \( c \):

- Если \( f''(c) > 0 \), то это указывает на локальный минимум в точке \( c \). - Если \( f''(c) < 0 \), то это указывает на локальный максимум в точке \( c \). - Если \( f''(c) = 0 \) или не существует, то тест не дает однозначного ответа, и может потребоваться использование дополнительных методов анализа.

Это условие иногда называют вторым производным тестом на экстремум. Вместе с первым условием (производная равна нулю), оно создает более сильный критерий для определения точек экстремума.