Question

1) sin^2x+6sinxcosx+8cos^2x=02)3tgx-6ctgx+7=03)2cos^2x-11sin2x=124)2sin^2x-3sin2x-4cos2x=4

Answer 1

1)перепиши уравнение- это однородное уравнение 2степени, можем разделить на cos^2x, тогда получим уравнение относительно тангенса:
tg^2x+6tgx+8=0
Пусть tgx=b, тогда
b^2+6b+8=0
D=36-32=4
b1=-2
b2=-4
Делаем обратную замену
1. tgx=-2
x=-arctg2+пиk
2. tgx=-4
x=-arctg4+пиK
Четвертое решается антологично, нужно только раскрыть двойной угол у синуса и косинуса.

Answer 2

Давайте поочередно рассмотрим каждое уравнение:

1) \( \sin^2x + 6\sin x \cos x + 8\cos^2x = 0 \)

Используем тригонометрические тождества, такие как \( \sin^2x + \cos^2x = 1 \) и \( \sin 2x = 2\sin x \cos x \), чтобы преобразовать уравнение:

\[ \sin^2x + 6\sin x \cos x + 8\cos^2x = \sin^2x + 2\sin x \cos x + 4\cos^2x + 4\sin x \cos x + 4\sin x \cos x \] \[ = (\sin x + 2\cos x)^2 + 4\sin x \cos x \]

Теперь у нас есть квадрат полинома и еще одно слагаемое. Учитывая, что \( -1 \leq \sin x \leq 1 \) и \( -1 \leq \cos x \leq 1 \), можем утверждать, что \( -2 \leq \sin x + 2\cos x \leq 2 \), а следовательно, \( (\sin x + 2\cos x)^2 \geq 0 \). Таким образом, уравнение имеет только одно решение при \( 4\sin x \cos x = 0 \), что достигается, если \( \sin x = 0 \) или \( \cos x = 0 \).

2) \( 3\tan x - 6\cot x + 7 = 0 \)

Преобразуем уравнение, используя определения тригонометрических функций:

\[ 3\tan x - 6\cot x + 7 = \frac{3\sin x}{\cos x} - \frac{6\cos x}{\sin x} + 7 \]

Умножим обе стороны на \( \sin x \cos x \), чтобы избавиться от знаменателей:

\[ 3\sin^2 x - 6\cos^2 x + 7\sin x \cos x = 0 \]

Теперь мы видим, что у нас есть квадратичное уравнение вида \( ax^2 + bx + c = 0 \) с \( a = 3 \), \( b = 7\sin x \cos x \), и \( c = -6 \). Решим это уравнение относительно \( \sin x \cos x \) с использованием квадратного уравнения.

3) \( 2\cos^2 x - 11\sin 2x = 12 \)

Используем тригонометрические тождества, такие как \( \cos^2x = 1 - \sin^2x \) и \( \sin 2x = 2\sin x \cos x \), чтобы преобразовать уравнение:

\[ 2(1 - \sin^2x) - 11(2\sin x \cos x) = 12 \] \[ 2 - 2\sin^2x - 22\sin x \cos x = 12 \] \[ -2\sin^2x - 22\sin x \cos x = 10 \] \[ \sin^2x + 11\sin x \cos x = -5 \]

Теперь у нас есть квадратичное уравнение вида \( ax^2 + bx + c = 0 \) с \( a = 1 \), \( b = 11\sin x \cos x \), и \( c = -5 \). Решим это уравнение относительно \( \sin x \cos x \) с использованием квадратного уравнения.

4) \( 2\sin^2x - 3\sin 2x - 4\cos 2x = 4 \)

Используем тригонометрические тождества, такие как \( \sin 2x = 2\sin x \cos x \) и \( \cos 2x = \cos^2x - \sin^2x \), чтобы преобразовать уравнение:

\[ 2\sin^2x - 3(2\sin x \cos x) - 4(\cos^2x - \sin^2x) = 4 \] \[ 2\sin^2x - 6\sin x \cos x - 4\cos^2x + 4\sin^2x = 4 \] \[ 6\sin^2x - 6\sin x \cos x - 4\cos^2x = 4 \] \[ 3\sin^2x - 3\sin x \cos x - 2\cos^2x = 2 \]

Теперь у нас есть квадратичное уравнение вида \( ax^2 + bx + c = 0 \) с \( a = 3 \), \( b = -3\sin x \cos x \), и \( c = -2 \). Решим это уравнение относительно \( \sin x \cos x \) с использованием квадратного уравнения.