Question

Решите:1.(x-1)(x+2)(x^2+3x+8)<0. 2.x^2(x+2)(x-1)^3(x^2+1)>0. Буду очень благодарен если правильно.

Answer 1

$(x-1)(x+2)(x^2+3x+8)\ \textless \ 0\\\\ x-1=0\\ x=1\\\\ x+2=0\\ x=-2\\\\ x^2+3x+8=0\\ D=9-32=-23\\ D\ \textless \ 0\\ x=\varnothing$

__+__-2__-__1__+__

Ответ: $x \in (-2;1)$


$x^2(x+2)(x-1)^3(x^2+1)\ \textgreater \ 0\\\\ x^2=0\\ x=0\\\\ x+2=0\\ x=-2\\\\ (x-1)^3=0\\ x-1=0\\ x=1\\\\ x^2+1=0\\ x^2=-1\\ x=\varnothing$

__+__-2__-__0__-__1__+__

Ответ:$x\in (-\infty; -2)\bigcup (1;+\infty)$

Answer 2

Конечно, я помогу вам решить данные неравенства.

1. Давайте разберем первое неравенство: \((x-1)(x+2)(x^2+3x+8) < 0\).

Чтобы решить это неравенство, начнем с определения знака каждого из множителей. Для этого рассмотрим неравенства для каждого множителя по отдельности:

- \((x-1)\) меняет знак с отрицательного на положительный при \(x > 1\). - \((x+2)\) меняет знак с отрицательного на положительный при \(x > -2\). - \(x^2+3x+8\) всегда положительное значение для всех реальных значений \(x\) (по квадратному трехчлену).

Теперь найдем области, в которых знаки множителей соответствуют условию \(< 0\). Для этого возможны два случая:

а) \(x-1 < 0\) (отрицательный множитель), \(x+2 > 0\) (положительный множитель), \(x^2+3x+8 > 0\) (положительный множитель). б) \(x-1 > 0\) (положительный множитель), \(x+2 < 0\) (отрицательный множитель), \(x^2+3x+8 > 0\) (положительный множитель).

Теперь найдем интервалы \(x\), удовлетворяющие каждому из этих случаев:

а) \(x < 1\) и \(x > -2\) (из \(x-1 < 0\) и \(x+2 > 0\)), но \(x^2+3x+8 > 0\) для всех \(x\) (положительный множитель).

б) Нет решений, так как нет значений \(x\), которые одновременно удовлетворяют \(x-1 > 0\) и \(x+2 < 0\).

Итак, решение первого неравенства: \(-2 < x < 1\).

Теперь перейдем ко второму неравенству: \(x^2(x+2)(x-1)^3(x^2+1) > 0\).

Аналогично предыдущему методу, рассмотрим знак каждого множителя:

- \(x^2\) всегда положительное значение для всех реальных значений \(x\). - \((x+2)\) меняет знак с отрицательного на положительный при \(x > -2\). - \((x-1)^3\) меняет знак с отрицательного на положительный при \(x > 1\). - \(x^2+1\) всегда положительное значение для всех реальных значений \(x\).

Теперь найдем интервалы \(x\), удовлетворяющие условию \(> 0\) для всех множителей:

Все множители положительны для всех \(x > 1\) (из \((x-1)^3\) и \(x+2\)).

Итак, решение второго неравенства: \(x > 1\).

Теперь мы рассмотрели оба неравенства и получили следующие решения:

1. \(-2 < x < 1\) 2. \(x > 1\)