Question

Докажите равенство (sinx+cosx)^2=1+sin2x

Answer 1

Разберем левую часть 

(sinx + cosx)^2 = sin^2x + 2sinxcosx + sin^2x = 
= (sin^2x+ cos^2x) + 2sinxcosx = 
= 1 + sin2x  ( ч т д)

Так как эти формулы нужно знать
 sin^2x+ cos^2x = 1 
2sinxcosx  = sin2x 

Answer 2

Давайте рассмотрим левую и правую части уравнения и посмотрим, сможем ли мы преобразовать одну сторону в другую.

У нас есть уравнение:

\[(\sin x + \cos x)^2 = 1 + \sin 2x.\]

Давайте раскроем квадрат на левой стороне:

\[(\sin x + \cos x)^2 = (\sin x + \cos x)(\sin x + \cos x).\]

Раскроем скобки:

\[\sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x.\]

Теперь мы видим, что у нас есть сумма \(\sin^2 x + \cos^2 x\), которая равна 1 (это тригонометрическая тождественность).

Таким образом, уравнение преобразуется в:

\[1 + 2 \sin x \cos x = 1 + \sin 2x.\]

Теперь вычтем 1 с обеих сторон:

\[2 \sin x \cos x = \sin 2x.\]

Разделим обе стороны на 2:

\[\sin x \cos x = \frac{\sin 2x}{2}.\]

Таким образом, мы доказали, что \((\sin x + \cos x)^2 = 1 + \sin 2x\) верно для всех значений \(x\).