Question

При каких а система уравнений х-(а-1)у=5 и (а+3)х+3у=3-а имеет бесконечное много решений?

Answer 1

Вычисляем определитель системы
   1    (1-a)
                     =a^2+2a
(a+3)  3

чтобы система имела бесконечно много решений н.д. чтобы
определитель равнялся 0.
a^2+2a=0  a1=-2  a2=0
вычисляем определитель

5    1-а
             =a^2-4a-12=0
3-а  3

a^2-4a-12=0  a1=-2  a2=6
при a=-2 определители системы равны 0. система либо имеет бесконечно много решений , либо несовместна.
при a=-2
имеем  x+3y=5
               x+3y=5
имеем два совпадающих уравнения. система имеет бесконечное число решений.
ответ a=-2

Answer 2

$\left \{ {{x-(a-1)y=5} \atop {(a+3)x+3y=3-a}} \right. \to \left \{ {{-ay+x+y=5} \atop {ax+3x+3y=-a+3}} \right. \to \left \{ {{-ay+x+y-5=0} \atop {(a+2)(x-y-1)=0}} \right. \to \\ \\ \to \left \{ {{-ay+x+y-5=0} \atop { \left[\begin{array}{ccc}a+2=0\\-x-y-1=0\end{array}\right}} \right. \to \left \{ {{-ay+x+y-5=0} \atop { \left[\begin{array}{ccc}a=-2\\x=-y-1\end{array}\right}} \right.$

Имеем

$\left \{ {{x=-3y+5} \atop {a=-2}} \right.$                    $\left \{ {{a=- \frac{6}{y} } \atop {x=-y-1}} \right.$

Ответ: при $a=-2;&x=-3y+5;y=\forall$

Также при $a=- \frac{6}{y} ;x=-y-1;y=\forall ; y \neq 0$

P.S. $\forall -$ любое число

Answer 3

Дана система уравнений:

1) \(x - (a - 1)y = 5\) 2) \((a + 3)x + 3y = 3 - a\)

Чтобы определить, при каких значениях параметра \(а\) эта система имеет бесконечно много решений, нужно проанализировать её свойства. Один из способов - привести систему уравнений к удобному виду.

Давайте сначала перепишем уравнения в более удобном виде:

1) \(x - ay + y = 5 + a\) 2) \((a + 3)x + 3y = 3 - a\)

Теперь система принимает вид, где можно выразить одну из переменных через другую:

1) \(x = ay - y + 5 + a\)

Подставим \(x\) из первого уравнения во второе:

\((a + 3)(ay - y + 5 + a) + 3y = 3 - a\)

Раскроем скобки:

\(a^2y + 3ay - ay + 3a + 3ay - 3y + 15 + 3a + 3y = 3 - a\)

Упростим выражение:

\(a^2y + 6ay - 4y + 6a + 15 = 3 - a\) \(a^2y + 6ay - 4y + a + 6 = 0\)

Теперь факторизуем уравнение:

\(y(a^2 + 6a - 4) + (a + 6) = 0\)

Используем квадратное уравнение:

\(a^2 + 6a - 4 = 0\)

Это уравнение квадратное относительно \(a\). Решив его, найдем значения параметра \(a\), при которых уравнение имеет бесконечное число решений.

Для нахождения корней уравнения \(a^2 + 6a - 4 = 0\) используем квадратное уравнение:

\(a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)

где \(a = 1\), \(b = 6\), и \(c = -4\)

\(a = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1}\) \(a = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 16}}{2}\) \(a = \frac{-6 \pm \sqrt{52}}{2}\) \(a = \frac{-6 \pm 2\sqrt{13}}{2}\) \(a = -3 \pm \sqrt{13}\)

Таким образом, при значениях \(a = -3 + \sqrt{13}\) и \(a = -3 - \sqrt{13}\) система имеет бесконечное количество решений.