Question

Помогите решить Cos5x×cos3x=1-sin5x×sin3x

Answer 1

Решение....................

Answer 2

Данное уравнение имеет вид: cos(5x) * cos(3x) = 1 - sin(5x) * sin(3x).

Для решения данного уравнения, мы можем использовать тригонометрические тождества и свойства функций синуса и косинуса. Давайте разберемся с этим пошагово.

Применение тригонометрических тождеств

Используя формулу двойного угла для косинуса, мы можем переписать левую часть уравнения следующим образом:

cos(5x) * cos(3x) = [cos(5x + 3x) + cos(5x - 3x)] / 2

= [cos(8x) + cos(2x)] / 2

Применение тригонометрических тождеств

Теперь, используя формулу двойного угла для синуса, мы можем переписать правую часть уравнения следующим образом:

1 - sin(5x) * sin(3x) = 1 - [sin(5x + 3x) - sin(5x - 3x)] / 2

= 1 - [sin(8x) - sin(2x)] / 2

Подстановка обновленных выражений в уравнение

Подставим обновленные выражения обратно в уравнение:

[cos(8x) + cos(2x)] / 2 = 1 - [sin(8x) - sin(2x)] / 2

Умножим все части уравнения на 2, чтобы избавиться от деления:

cos(8x) + cos(2x) = 2 - (sin(8x) - sin(2x))

Преобразование выражения

Теперь рассмотрим тригонометрическое тождество: cos(a) = 1 - 2sin^2(a/2).

Применим эту формулу для члена cos(2x):

cos(2x) = 1 - 2sin^2(2x/2) = 1 - 2sin^2(x)

Теперь заменим cos(2x) в уравнении:

cos(8x) + (1 - 2sin^2(x)) = 2 - (sin(8x) - sin(2x))

cos(8x) + 1 - 2sin^2(x) = 2 - (sin(8x) - sin(2x))

Упрощение выражения

Вычтем 1 из обеих частей уравнения:

cos(8x) - 2sin^2(x) = 1 - (sin(8x) - sin(2x))

Перепишем sin(8x) как 2sin(4x)cos(4x) и sin(2x) как 2sin(x)cos(x):

cos(8x) - 2sin^2(x) = 1 - (2sin(4x)cos(4x) - 2sin(x)cos(x))

Раскроем скобки:

cos(8x) - 2sin^2(x) = 1 - 2sin(4x)cos(4x) + 2sin(x)cos(x)

Перегруппировка и использование тождества

Перегруппируем члены уравнения:

cos(8x) - 2sin^2(x) + 2sin(4x)cos(4x) - 2sin(x)cos(x) = 1

Теперь, используя тригонометрическое тождество sin(2a) = 2sin(a)cos(a), мы можем заменить некоторые члены уравнения:

cos(8x) - 2sin^2(x) + sin(8x) - sin(2x) = 1

Преобразование выражения

Просуммируем члены синуса:

cos(8x) + sin(8x) - 2sin^2(x) - sin(2x) = 1

Теперь, заменим sin(2x) на 2sin(x)cos(x):

cos(8x) + sin(8x) - 2sin^2(x) - 2sin(x)cos(x) = 1

Упрощение выражения

Мы можем переписать cos(8x) + sin(8x) как sin(π/2 - 8x):

sin(π/2 - 8x) - 2sin^2(x) - 2sin(x)cos(x) = 1

Применение тригонометрического тождества

Теперь, применим тождество sin^2(a) + cos^2(a) = 1:

sin(π/2 - 8x) - 2sin^2(x) - 2sin(x)cos(x) = 1

Перепишем sin(π/2 - 8x) как cos(8x):

cos(8x) - 2sin^2(x) - 2sin(x)cos(x) = 1

Преобразование выражения

Вычтем cos(8x) из обеих частей уравнения:

-2sin^2(x) - 2sin(x)cos(x) = 1 - cos(8x)

-2sin^2(x) - 2sin(x)cos(x) = 1 - cos(8x)

Применение тригонометрического тождества

Теперь, заменим cos(8x) на 1 - 2sin^2(4x):

-2sin^2(x) - 2sin(x)cos(x) = 1 - (1 - 2sin^2(4x))

-2sin^2(x) - 2sin(x)cos(x) = 1 - 1 + 2sin^2(4x)

-2sin^2(x) - 2sin(x)cos(x) = 2sin^2(4x)

Упрощение выражения

Умножим обе части уравнения на -1, чтобы изменить знаки:

2sin^2(x) + 2sin(x)cos(x) = -2sin^2(4x)

Применение тригонометрического тождества

Теперь, заменим sin^2(x) на 1 - cos^2(x):

2(1 - cos^2(x)) + 2sin(x)cos(x) = -2sin^2(4x)

2 - 2cos^2(x) + 2sin(x)cos(x) = -2sin^2(4x)

Преобразование выражения

Вычтем 2 из обеих частей уравнения:

-2cos^2(x) + 2sin(x)cos(x) = -2sin^2(4x) - 2

Применение тригонометрического тождества

Теперь, заменим sin^2(4x) на 1 - cos^2(4x):

-2cos^2(x) + 2sin(x)cos(x) = -2(1 - cos^2(4x)) - 2

Упрощение выражения

Раскроем скобки:

-2cos^2(x) + 2sin(x)cos(x) = -2 + 2cos^2(4x) - 2

-2cos^2(x) + 2sin(x)cos(x) = 2cos^2(4x) - 4

Перенесем все члены уравнения влево:

-2cos^2(x) + 2sin(x)cos(x) - 2cos^2(4x) + 4 = 0

Приведение подобных

Приведем подобные члены:

-2cos^2(x) - 2cos^2(4x) + 2sin(x)cos(x) + 4 = 0

Использование тригонометрического тожд