Question

Докажите что если старший коэффициент и свободный член квадратного уравнения имеют разные знаки, то уравнение имеет два корня.

Answer 1

D = b^2 - 4ac
При условии того, что а и с имеют разные знаки понятно, что D = b^2 +4ac больше 0 ⇒ 2 разл. корня.

Answer 2

Для доказательства данного утверждения рассмотрим квадратное уравнение вида:

ax^2 + bx + c = 0, где a, b и c - коэффициенты уравнения, причем a ≠ 0.

Предположим, что старший коэффициент a и свободный член c имеют разные знаки. То есть, пусть a > 0 и c < 0 (случай a < 0 и c > 0 рассматривается аналогично).

Для начала заметим, что в данном случае уравнение имеет два различных корня, так как они находятся по разные стороны от оси абсцисс. Действительно, если бы уравнение имело только один корень, то это означало бы, что его график касается оси абсцисс, что невозможно при условии a > 0 и c < 0.

Далее, рассмотрим дискриминант уравнения: D = b^2 - 4ac.

Так как a > 0 и c < 0, то ac < 0. Из этого следует, что D > 0, так как сумма положительного и отрицательного числа всегда является положительным числом.

Известно, что если дискриминант положителен, то квадратное уравнение имеет два различных вещественных корня. Следовательно, при условии a > 0 и c < 0 уравнение ax^2 + bx + c = 0 имеет два корня.

Таким образом, доказано, что если старший коэффициент и свободный член квадратного уравнения имеют разные знаки, то уравнение имеет два корня.