Question

Помогите разобраться... как избавиться от ln... только по действиям.. Пример: lim(ln(3)-ln(x))/(3-x) при x стремящемся к 3.

Answer 1

 $lim_{x\to 3}\frac{lnx-ln3}{3-x}=lim\frac{ln\frac{3}{x}}{3-x}=lim\frac{(ln\frac{3}{x}+1)-1}{3-x}=lim(\frac{ln\frac{3}{x}+1}{3-x}-\frac{1}{3-x})=\\\\=lim(\frac{\frac{3}{x}}{3-x}-\frac{1}{3-x})=lim(\frac{3}{x(3-x)}-\frac{1}{3-x})=lim\frac{3-x}{x(3-x)}=lim_{x\to 3}\frac{1}{x}=\frac{1}{3}\\\\ln(x+1)\; \approx\; x\; ,\; x\to 0$ 

Answer 2

Для начала, давайте разберемся, что такое ln. ln - это натуральный логарифм, который обозначается как log_e. Натуральный логарифм функции f(x) обычно обозначается как ln(f(x)).

Теперь посмотрим на ваш пример: lim(ln(3)-ln(x))/(3-x) при x стремящемся к 3.

Для начала, найдем значение ln(3) - ln(x) при x стремящемся к 3:

ln(3) - ln(x) = ln(3) - ln(3) = 0

Теперь найдем значение (3-x) при x стремящемся к 3:

3 - x = 3 - 3 = 0

Теперь мы можем выразить исходное выражение как:

lim(ln(3)-ln(x))/(3-x) = lim(0)/0

Из этого видно, что у нас получается неопределенность вида 0/0, что означает, что мы можем использовать правило Лопиталя для нахождения предела.

Правило Лопиталя гласит, что если предел функции f(x) при x стремящемся к a равен 0/0 или бесконечность/бесконечность, то предел отношения производных f'(x) и g'(x) равен пределу исходной функции.

Производная ln(x) равна 1/x, поэтому предел (ln(3)-ln(x))/(3-x) при x стремящемся к 3 равен пределу отношения производной ln(3) и производной 3:

lim(ln(3)-ln(x))/(3-x) = lim(1/x)/(3-x) при x стремящемся к 3

Теперь подставим x=3 в выражение 1/x и выразим предел:

lim(1/x)/(3-x) = 1/3

Таким образом, предел (ln(3)-ln(x))/(3-x) при x стремящемся к 3 равен 1/3.