Question

Решите неравенство: корень 2^х-2/2^х-4<1

Answer 1

$\sqrt{\frac{2^{x}-2}{2^{x}-4} }\ \textless \ 1\; ;\; \; \; \; ODZ:\; 2^{x}-4\ne 0\; ;\; 2^{x}\ne 2^2\; ;\; x\ne 2$

$\frac{2^{x}-2}{2^{x}-4} \geq 0\\\\+++[2]---(4)+++\\\\ \left \{ {{2^{x}\ \textgreater \ 4} \atop {2^{x} \leq 2}} \right. \left \{ {{2^{x}\ \textgreater \ 2^2} \atop {x \leq 1}} \right. \left \{ {{x\ \textgreater \ 2} \atop {x \leq 1}} \right. ;x\in (-\infty ,1]\cup (2,+\infty )$

$\frac{2^{x}-2}{2^{x}-4} -1\ \textless \ 0\\\\ \frac{2^{x}-2-2^{x}+4}{2^{x}-4} \ \textless \ 0\\\\ \frac{2}{2^{x}-4} \ \textless \ 0\\\\Tak\; kak\; \; 2\ \textgreater \ 0\; ,\; to\; \; 2^{x}-4\ \textless \ 0\\\\2^{x}\ \textless \ 2^2\\\\x\ \textless \ 2\\\\Otvet:\; \; x\in (-\infty ,1]\; .$

Answer 2

Давайте решим неравенство поэтапно.

Исходное неравенство: $\frac{\sqrt{2^x-2}}{2^x-4} < 1$

Первым шагом мы можем избавиться от знаменателя, умножив обе части неравенства на $(2^x-4)$:

$\sqrt{2^x-2} < (2^x-4)$

Теперь возводим обе части неравенства в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$(\sqrt{2^x-2})^2 < (2^x-4)^2$

$2^x-2 < (2^x-4)^2$

Раскрываем квадрат справа:

$2^x-2 < 4^{x}-16\cdot2^x+16$

Упрощаем выражение:

$2^x-2 < 2^{2x}-16\cdot2^x+16$

Теперь выражение содержит только одну переменную $x$. Давайте перенесем все члены в одну сторону:

$2^{2x}-17\cdot2^x+18 > 0$

Теперь у нас есть квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c > 0$, где $a = 2^2 = 4$, $b = -17\cdot2 = -34$ и $c = 18$. Для решения этого неравенства нам понадобится найти интервалы значений $x$, для которых это неравенство выполняется.

Мы можем решить это квадратное неравенство, используя метод интервалов. Давайте найдем критические точки, где выражение равно нулю:

$2^{2x}-17\cdot2^x+18 = 0$

Факторизуем это уравнение:

$(2^x-1)(2^x-18) = 0$

Таким образом, у нас есть две критические точки: $x = 0$ и $x = \log_2{18}$.

Теперь давайте построим таблицу значений для каждого интервала:

1. Для $x < 0$: Подставим $x = -1$ в неравенство $2^{2x}-17\cdot2^x+18 > 0$ и получим $4-17\cdot\frac{1}{2}+18 > 0$. Это неравенство выполняется, потому что левая сторона больше нуля.

2. Для $0 < x < \log_2{18}$: Подставим $x = 1$ в неравенство и получим $16-17\cdot2+18 > 0$. Опять же, это неравенство выполняется.

3. Для $x > \log_2{18}$: Подставим $x = 2$ в неравенство и получим $64-17\cdot4+18 > 0$. И это неравенство выполняется.

Таким образом, неравенство $\frac{\sqrt{2^x-2}}{2^x-4} < 1$ выполняется для всех значений $x$ в интервалах $(-\infty, 0)$, $(0, \log_2{18})$ и $(\log_2{18}, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (0, \log_2{18}) \cup (\log_2{18}, +\infty)$