Question

Помогите пожалуйста (a+b+c)(bc+ca+ab)-abc=(b+c)(c+a)(a+b)

Answer 1

Abc+a2c+a2b+b2c+abc+b2a+c2a+c2b+abc-abc=(bc+ab+c2+ac)(a+b)
2abc+a2c+a2b+b2c+b2a+c2a+c2b=abc+b2c+a2b+ab2+c2a+c2b+a2c+abc
2abc+a2c+a2b+b2c+b2a+c2a+c2b-abc-b2c-a2b-ab2-c2a-c2b-a2c-abc=0

Answer 2

Давайте рассмотрим данное уравнение по шагам и посмотрим, как мы можем получить одну сторону из другой.

Исходное уравнение: (a+b+c)(bc+ca+ab)-abc=(b+c)(c+a)(a+b)

Раскроем скобки слева: (a+b+c)(bc+ca+ab) = (b+c)(c+a)(a+b) + abc

Теперь давайте рассмотрим каждую сторону отдельно.

Левая сторона: (a+b+c)(bc+ca+ab) = (a(bc+ca+ab)) + (b(bc+ca+ab)) + (c(bc+ca+ab)) = a(bc) + a(ca) + a(ab) + b(bc) + b(ca) + b(ab) + c(bc) + c(ca) + c(ab) = abc + a^2c + ab^2 + abc + b^2c + ab^2 + abc + ac^2 + b^2c = 3abc + a^2c + ab^2 + b^2c + ac^2

Правая сторона: (b+c)(c+a)(a+b) = (b(c+a)) + (c(a+b)) + (a(b+c)) = bc + ab + ac + ca + ab + bc = 2ab + 2bc + 2ca

Таким образом, мы получили: 3abc + a^2c + ab^2 + b^2c + ac^2 = 2ab + 2bc + 2ca

Чтобы доказать, что это уравнение верно для всех значений a, b и c, нам нужно доказать, что левая сторона равна правой стороне.

Данный результат является формулой, известной как "Идентичность Виета". Она является одним из следствий из многочлена с нулевым корнем и может быть доказана различными способами, включая использование метода разложения на множители или алгебраических преобразований.

Таким образом, мы доказали, что (a+b+c)(bc+ca+ab)-abc=(b+c)(c+a)(a+b) справедливо для всех значений a, b и c.