Question

Докажите, что произведение четырех последовательных натуральных чисел кратно 8

Answer 1

среди четырёх последовательных натуральных чисел обязательно имеется два (и ровно два) чётных,причём одно из этих чётных чисел делится на 4.

Answer 2

Для доказательства того, что произведение четырех последовательных натуральных чисел кратно 8, мы можем воспользоваться математической индукцией.

Для начала, давайте рассмотрим первые несколько последовательных натуральных чисел: 1, 2, 3, 4

Произведение этих чисел равно 1 * 2 * 3 * 4 = 24. Очевидно, что 24 делится на 8 без остатка, так как 24 = 3 * 8.

Теперь предположим, что произведение четырех последовательных натуральных чисел кратно 8 для некоторого числа k, то есть k * (k+1) * (k+2) * (k+3) кратно 8.

Нам нужно доказать, что это верно и для числа k+1, то есть (k+1) * (k+2) * (k+3) * (k+4) кратно 8.

Раскроем произведение (k+1) * (k+2) * (k+3) * (k+4): (k+1) * (k+2) * (k+3) * (k+4) = (k * (k+1) * (k+2) * (k+3)) + 4 * (k+1) * (k+2) * (k+3)

Первое слагаемое k * (k+1) * (k+2) * (k+3) является кратным 8 по предположению индукции.

Второе слагаемое 4 * (k+1) * (k+2) * (k+3) также является кратным 8, так как каждый множитель (k+1), (k+2) и (k+3) являются последовательными числами, и по предположению индукции их произведение кратно 8.

Таким образом, мы получаем, что (k+1) * (k+2) * (k+3) * (k+4) является суммой двух кратных 8 чисел, и, следовательно, само является кратным 8.

Таким образом, мы доказали, что произведение четырех последовательных натуральных чисел кратно 8 по принципу математической индукции.