Question

Cos2x=2sinx+1 запишите сумму его корней,принадлежащих промежутку { 0; 2П } а) 5П/6 б) П/2 в) 4,5П г) 2П

Answer 1

Cos2x=2sinx+1
cos^2(x)-sin^2(x)- формула косинуса двойного аргумента
1- раскладываем по основному тригонометрическому тождеству
тогда уравнение примет вид:
cos^2(x)-sin^2(x)=2sinx+cos^2(x)+sin^2(x)
2sin^2(x)+2sinx=0
2sinx(sinx+1)=0
2sinx=0
х=П*n где n-целые числа
sinx+1=0
sinx=-1
х=3п/2+2П
на промежутке корнями будут числа:
0, П,3П/2, 2П
их сумма равна
9П/2 или 4,5П

Answer 2

Для начала решим уравнение cos(2x) = 2sin(x) + 1.

Перепишем уравнение с использованием тригонометрических формул:

cos(2x) = 2sin(x) + 1 cos^2(x) - sin^2(x) = 2sin(x) + 1 cos^2(x) - (1 - cos^2(x)) = 2sin(x) + 1 cos^2(x) - 1 + cos^2(x) = 2sin(x) + 1 2cos^2(x) - 2 = 2sin(x) + 1 2cos^2(x) - 2sin(x) - 3 = 0

Теперь решим полученное квадратное уравнение:

Для решения квадратного уравнения вида ax^2 + bx + c = 0 используем формулу дискриминанта D = b^2 - 4ac и формулы для нахождения корней x = (-b ± √D) / 2a.

a = 2, b = -2, c = -3 D = (-2)^2 - 4*2*(-3) = 4 + 24 = 28

Таким образом, дискриминант D равен 28.

Найдем корни уравнения:

x = (-(-2) ± √28) / (2*2) x = (2 ± √28) / 4 x = (2 ± 2√7) / 4 x = (1 ± √7) / 2

Итак, корни уравнения 2cos^2(x) - 2sin(x) - 3 = 0 равны (1 + √7) / 2 и (1 - √7) / 2.

Проверим принадлежность корней промежутку {0; 2π}:

Корни уравнения принадлежат промежутку {0; 2π}, если они находятся в пределах от 0 до 2π.

(1 + √7) / 2 ≈ 2.791 (1 - √7) / 2 ≈ -1.791

Таким образом, единственный корень уравнения, принадлежащий промежутку {0; 2π}, это (1 + √7) / 2 ≈ 2.791.

Сумма корней, принадлежащих промежутку {0; 2π}, равна:

Сумма корней равна (1 + √7) / 2, что примерно равно 2.791, что ближе всего к ответу "в) 4,5П".