Question

log1/2 (x^2+0,5x)<=1

Answer 1

Log1/2(x²+0,5x)≤log1/2(1/2)

ОДЗ: x²+0,5x>0
x(x+0,5)>0
x∈(-inf; -0,5] ∨ [0; +inf)

x²+0,5x≥0,5
x²+0,5x-0,5≥0
D=0,25+2=2,25
√D=1,5
x₁=-1        x₂=0,5
x∈(-inf; -1] ∨ [0,5; +inf)
Исключая ОДЗ, получаем:
x∈(-inf; -1] ∨ [0,5; +inf)

Answer 2

Для решения данного неравенства сначала найдем область допустимых значений x, для которых выражение внутри логарифма будет положительным.

Выражение внутри логарифма должно быть положительным, поэтому x^2 + 0,5x > 0.

Решим неравенство x^2 + 0,5x > 0:

x(x + 0,5) > 0

Теперь найдем интервалы, на которых это неравенство выполняется. Для этого построим таблицу знаков:

| x | x(x + 0,5) | |-------|--------------| | x < -0.5 | + | | -0.5 < x < 0 | - | | x > 0 | + |

Таким образом, неравенство x^2 + 0,5x > 0 выполняется при x < -0.5 и x > 0.

Теперь рассмотрим неравенство log1/2(x^2 + 0,5x) <= 1.

Для нахождения решения данного неравенства используем следующий подход: перепишем неравенство в экспоненциальной форме. Так как логарифм берется по основанию 1/2, то мы имеем:

1/2^1 <= x^2 + 0,5x

2^1 >= x^2 + 0,5x

x^2 + 0,5x <= 2

Теперь найдем корни квадратного уравнения x^2 + 0,5x - 2 = 0:

D = 0,5^2 - 4*1*(-2) = 0,25 + 8 = 8,25

x1,2 = (-0,5 ± √8,25)/2

Таким образом, получаем два корня:

x1 = (-0,5 + √8,25)/2 ≈ 0,791

x2 = (-0,5 - √8,25)/2 ≈ -2,291

Итак, решением неравенства log1/2(x^2 + 0,5x) <= 1 является интервал (-∞, -2,291] объединение [0,791, +∞).