Question

sin x*cos x-6sinx+6cosx+6=0

Answer 1

Получается примерно так:

sinx cosx + 6 cosx + 6 - 6 sinx = 0
sinx (cosx-6) + 6 cosx + 6 = 0
sinx = 6 (cosx+1)/(6-cosx)
sqrt(1-cos^2 x) = 6 (cosx+1)/(6-cosx)
1-cos^2 x = [6 (cosx+1)/(6-cosx)]^2
(1-cosx)(1+cosx) = 36 (1+cosx)^2 / (6-cosx)^2

Сокращаем обе части на cosx+1.

При этом нужно убедиться, что не потерялись решения.

Получаем:
(1-cosx) (6-cosx)^2 = 36 (1+cosx)
(1-cosx) (36+cos^2 x - 12cosx) = 36 + 36 cos x
36 - 36 cosx + cos^2 x - cos^3 x - 12 cosx + 12 cos^2 x = 36 + 36 cosx
-84 cosx +13 cos^2 x - cos^3 x = 0
cosx (cos^2 x - 13 cosx + 84) = 0
cosx = 0 или cos^2 x - 13 cosx + 84 = 0

Второе уравнение, квадратное относительно косинуса, решений не имеет.

Остается единственный вариант:
cosx = 0

В этом случае исходное уравнение принимает вид:
6 = 6sinx
sinx = 1
x=п/2 + 2kп, k - произвольное целое.

Теперь проверим, что при сокращении на cosx+1 не потерялись решения. Получаем:
cosx + 1 = 0
cosx = -1
Тогда sinx = 0, и исходное уравнение обращается в верное тождество. Следовательно, к решению надо добавить корни:
x = п + 2kп, k - произвольное целое.

Ответ:
x=п/2 + 2kп, k ∈Z,
x=п + 2kп, k ∈Z.