Question

Сколько корней уравнение sin x +1/2/cos(x+пи/3)=0 попадает в интервал [0;2пи]

Answer 1

(sinx+1/2)/cos(x+π/3)=0
cos(x+π/3)≠0
x+π/3≠π/2+πn
x≠π/6+πn,n∈z
sinx+1/2=0
sinx=-1/2
x=-π/6+2πn,n∈z
x=7π/6+2πn,n∈z не удов усл
0≤-π/6+2πn≤2π
0≤-1+12n≤12
1≤12n≤13
1/12≤n≤13/12
n=1⇒x=-π/6+2π=11π/6∈[0;2π]

Answer 2

Данное уравнение можно записать в виде sin(x) + (1/2)cos(x + π/3) = 0.

Для начала, заметим, что можно переписать cos(x + π/3) в виде cos(x)cos(π/3) - sin(x)sin(π/3). Таким образом, sin(x) + (1/2)cos(x + π/3) = sin(x) + (1/2)(cos(x)cos(π/3) - sin(x)sin(π/3)). Упростим выражение, зная, что cos(π/3) = 1/2 и sin(π/3) = √3/2: sin(x) + (1/2)(cos(x)cos(π/3) - sin(x)sin(π/3)) = sin(x) + (1/4)(2cos(x) - √3sin(x)).

Далее, группируя слагаемые, получаем: sin(x) + (1/4)(2cos(x) - √3sin(x)) = (1/4)(2cos(x) - √3sin(x) + 4sin(x)).

Упрощаем: = (1/4)(2cos(x) - √3sin(x) + 4sin(x)) = (1/4)(2cos(x) + (4 - √3)sin(x)).

Для того чтобы это выражение стало равно нулю, необходимо, чтобы его числитель равнялся нулю: 2cos(x) + (4 - √3)sin(x) = 0.

Подставим значения sin(x) = y и cos(x) = √(1 - y^2) (так как sin^2(x) + cos^2(x) = 1) и решим полученное уравнение: 2√(1 - y^2) + (4 - √3)y = 0.

Найдем корни этого уравнения. Уравнение имеет корни, если его дискриминант >= 0.

Дискриминант D = (4 - √3)^2 - 4(2)(-1) = 16 - 8√3 + 3 - 8 = 11 - 8√3. D >= 0: 11 - 8√3 >= 0. Решаем неравенство и получаем 11 >= 8√3, √3 <= 11/8.

Т.о. получаем, что уравнение имеет корни, если √3 <= 11/8.

В интервале [0, 2π] выполняется: 0 <= x <= 2π.

Коротко говоря, уравнение sin(x) + (1/2)cos(x + π/3) = 0 имеет корни, если √3 <= 11/8, а они лежат в интервале [0, 2π].