Question

Найти три числа, образующие возрастающую геометрическую прогрессию, зная, что их сумма равна 26, сумма квадратов этих чисел 364.

Answer 1

Числа 2 , 6, 18..............

Answer 2

Давайте обозначим три числа геометрической прогрессии как a, ar и ar^2, где a - первый член прогрессии, r - знаменатель. Условие задачи гласит, что сумма этих чисел равна 26:

\[a + ar + ar^2 = 26.\]

Также дано, что сумма квадратов этих чисел равна 364:

\[a^2 + (ar)^2 + (ar^2)^2 = 364.\]

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными (a и r). Решим её.

1. Уравнение для суммы чисел:

\[a + ar + ar^2 = 26.\]

2. Уравнение для суммы квадратов:

\[a^2 + (ar)^2 + (ar^2)^2 = 364.\]

Упростим второе уравнение:

\[a^2 + a^2r^2 + a^2r^4 = 364.\]

Теперь у нас есть система:

\[\begin{cases} a + ar + ar^2 = 26 \\ a^2 + a^2r^2 + a^2r^4 = 364 \end{cases}.\]

Сначала решим первое уравнение относительно a:

\[a(1 + r + r^2) = 26.\]

\[a = \frac{26}{1 + r + r^2}.\]

Теперь подставим это значение a во второе уравнение:

\[\left(\frac{26}{1 + r + r^2}\right)^2 + \left(\frac{26}{1 + r + r^2}\right)^2r^2 + \left(\frac{26}{1 + r + r^2}\right)^2r^4 = 364.\]

Это уравнение содержит только одну неизвестную, r. Решив его, мы найдем значения r. После этого можно будет найти соответствующие значения a, подставив их обратно в первое уравнение.

Решение этого уравнения может быть довольно сложным вручную, и часто используются численные методы или программы для символьных вычислений.