Question

Пример решите (Х-2)(х+4)(7-х)>0

Answer 1

Решаем методом интервалов
корни уравнения (х - 2)(х + 4)(7 - х) = 0
это х1 = 2; х2 = -4; х3 = 7
Разбиваем числовую ось на интервалы (-≈; -4) (-4; 2) (2; 7) (7; +≈)
Проверим знаки выражения у = (х - 2)(х + 4)(7 - х)
1) при х <-4;            х = -5 у > 0
2) при -4 < x < 2       х = 0  у<0
3) при 2 < x < 7       x = 5  y >0
4) при х > -7            x = 8 y < 0
Записываем решение
х∈ (-≈; -4) U (2; 7)         

Answer 2

Чтобы решить неравенство вида \((x - a)(x - b)(x - c) > 0\), можно использовать метод интервалов. Суть метода заключается в выделении интервалов на числовой прямой, на которых неравенство выполняется.

1. Найдем корни уравнения: \((x - 2)(x + 4)(7 - x) = 0\).

Решим уравнение \( (x - 2)(x + 4)(7 - x) = 0 \): - \(x - 2 = 0 \Rightarrow x_1 = 2\) - \(x + 4 = 0 \Rightarrow x_2 = -4\) - \(7 - x = 0 \Rightarrow x_3 = 7\)

Получаем три корня уравнения: \(x_1 = 2\), \(x_2 = -4\) и \(x_3 = 7\).

2. Построим интервалы: Разобьем числовую прямую на четыре интервала, ограниченных найденными корнями: \((- \infty, -4)\), \((-4, 2)\), \((2, 7)\), \((7, +\infty)\).

3. Выберем тестовую точку в каждом интервале: - Для интервала \((- \infty, -4)\) выберем \(x = -5\). - Для интервала \((-4, 2)\) выберем \(x = 0\). - Для интервала \((2, 7)\) выберем \(x = 5\). - Для интервала \((7, +\infty)\) выберем \(x = 8\).

4. Подставим тестовые точки в исходное неравенство: - Для \(x = -5\): \(((-5 - 2)(-5 + 4)(7 + 5) > 0\) - неравенство выполняется. - Для \(x = 0\): \(((0 - 2)(0 + 4)(7 - 0) > 0\) - неравенство не выполняется. - Для \(x = 5\): \(((5 - 2)(5 + 4)(7 - 5) > 0\) - неравенство выполняется. - Для \(x = 8\): \(((8 - 2)(8 + 4)(7 - 8) > 0\) - неравенство не выполняется.

5. Составим ответ: Неравенство выполняется на интервалах \((- \infty, -4)\) и \((2, 7)\).

Таким образом, решение исходного неравенства \((x - 2)(x + 4)(7 - x) > 0\) это: \[ x \in (- \infty, -4) \cup (2, 7) \]