Question

Решите уравнение (x-4)/(x+2)+(x+2)/(x-4)=17/4

Answer 1

$\frac{x-4}{x+2}+ \frac{x+2}{x-4}= \frac{17}{4} \\ \frac{(x-4)^{2}+(x+2)^{2}}{(x+2)(x-4)}- \frac{17}{4} =0\\ \frac{4(x-4)^{2}+4(x+2)^{2}-17(x+2)(x-4)}{4(x+2)(x-4)} =0\\ \frac{(2*(x-4))^{2}-2*2*2*(x+2)(x-4)+(2*(x+2))^{2}-9(x+2)(x-4)}{4(x+2)(x-4)} =0\\ \frac{(2(x-4)-2(x+2))^{2}-9(x+2)(x-4)}{4(x+2)(x-4)} =0\\ \frac{(2x-8-2x-4))^{2}-9(x^{2}-2x-8)}{4(x+2)(x-4)} =0\\ \frac{144-9x^{2}+18x+72)}{4(x+2)(x-4)} =0\\ x^{2}-2x-24=0 \\ x \neq -2 \\ x \neq 4 \\ D=4+96=100 \\ x_{1}=\frac{2+10}{2}=6$
$x_{2}=\frac{2-10}{2}=-4$
Ответ: 6; -4

Answer 2

Давайте решим данное уравнение:

\[\frac{x - 4}{x + 2} + \frac{x + 2}{x - 4} = \frac{17}{4}.\]

Для начала умножим обе стороны уравнения на общий знаменатель, чтобы избавиться от дробей. Общий знаменатель в данном случае равен произведению двух знаменателей \( (x + 2) \) и \( (x - 4) \):

\[(x + 2)(x - 4) \cdot \frac{x - 4}{x + 2} + (x + 2)(x - 4) \cdot \frac{x + 2}{x - 4} = \frac{17}{4} \cdot (x + 2)(x - 4).\]

После умножения и сокращения общих множителей получим:

\[(x - 4) + (x + 2) = \frac{17}{4} \cdot (x^2 - 2x - 8).\]

Раскроем скобки и упростим выражение:

\[x - 4 + x + 2 = \frac{17}{4} \cdot (x^2 - 2x - 8).\]

Сложим коэффициенты при одинаковых степенях \(x\) и упростим выражение:

\[2x - 2 = \frac{17}{4} \cdot (x^2 - 2x - 8).\]

Умножим обе стороны уравнения на 4, чтобы избавиться от дроби:

\[8x - 8 = 17 \cdot (x^2 - 2x - 8).\]

Раскроем скобки и упростим выражение:

\[8x - 8 = 17x^2 - 34x - 136.\]

Переносим все члены уравнения в одну сторону:

\[17x^2 - 34x - 136 - 8x + 8 = 0.\]

Сгруппируем члены:

\[17x^2 - 42x - 128 = 0.\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Мы можем решить его, используя квадратное уравнение или другие методы. В данном случае можно воспользоваться формулой квадратного корня:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.\]

В уравнении \(17x^2 - 42x - 128 = 0\):

\[a = 17, \quad b = -42, \quad c = -128.\]

Подставим значения в формулу:

\[x = \frac{42 \pm \sqrt{(-42)^2 - 4 \cdot 17 \cdot (-128)}}{2 \cdot 17}.\]

Вычислим подкоренное выражение:

\[x = \frac{42 \pm \sqrt{1764 + 8704}}{34}.\]

\[x = \frac{42 \pm \sqrt{10468}}{34}.\]

\[x = \frac{42 \pm 102}{34}.\]

Таким образом, получаем два значения \(x\):

1. \[x = \frac{42 + 102}{34} = \frac{144}{34} = \frac{72}{17}.\]

2. \[x = \frac{42 - 102}{34} = \frac{-60}{34} = -\frac{30}{17}.\]

Итак, уравнение \(\frac{x - 4}{x + 2} + \frac{x + 2}{x - 4} = \frac{17}{4}\) имеет два решения: \(x = \frac{72}{17}\) и \(x = -\frac{30}{17}\).