Question

Докажите тождество: (а+b)^4 - (a-b)^4 = 8ab(a^2 + b^2). ДАЮ 17 БАЛЛОВ!

Answer 1

(a  +  b)^4  -  (a  -  b)^4  =  ( (a  +  b)^2  -  (a  -b)^2 ) * ( (a  +  b)^2 + 
+  (a  -  b)^2 )  =  (a^2  +  2ab  +  b^2  -  a^2  +2ab  -  b^2) *
*(a^2  +  2ab  +  b^2  +  a^2  -  2ab  +  b^2)  =  4ab * (2a^2  +  2b^2)  =
=  4ab * 2(a^2  +  b^2)  =  8ab * (a^2  +  b^2) 

Answer 2

Чтобы доказать тождество (а+b)^4 - (a-b)^4 = 8ab(a^2 + b^2), мы можем использовать формулу разности кубов и формулу суммы кубов.

Сначала раскроем оба квадрата:

(а+b)^4 = (а+b) * (а+b) * (а+b) * (а+b) = (а+b) * (а^2 + 2ab + b^2) * (а^2 + 2ab + b^2) = (а^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3) * (а^2 + 2ab + b^2) = а^5 + 2a^4b + а^3b^2 + 3a^4b + 6a^3b^2 + 3a^2b^3 + 3a^3b^2 + 6a^2b^3 + 3ab^4 + b^5 = а^5 + 5a^4b + 5a^3b^2 + 5a^2b^3 + ab^4 + b^5

(a-b)^4 = (a-b) * (a-b) * (a-b) * (a-b) = (a-b) * (a^2 - 2ab + b^2) * (a^2 - 2ab + b^2) = (a^3 - 2a^2b + ab^2 - 2a^2b + 4a^2b^2 - 2ab^3 + ab^2 - 2ab^3 + b^4) = a^5 - 2a^4b + a^3b^2 - 2a^4b + 4a^3b^2 - 2a^2b^3 + a^3b^2 - 2a^2b^3 + b^5 = a^5 - 4a^4b + 6a^3b^2 - 4a^2b^3 + b^5

Теперь сравниваем два выражения:

(а+b)^4 - (a-b)^4 - 8ab(a^2 + b^2) = (а^5 + 5a^4b + 5a^3b^2 + 5a^2b^3 + ab^4 + b^5) - (a^5 - 4a^4b + 6a^3b^2 - 4a^2b^3 + b^5) - 8ab(a^2 + b^2) = а^5 + 5a^4b + 5a^3b^2 + 5a^2b^3 + ab^4 + b^5 - a^5 + 4a^4b - 6a^3b^2 + 4a^2b^3 - b^5 - 8a^3b - 8ab^3 = 8a^4b - a^4b + 8a^3b^2 - 6a^3b^2 - 8a^2b^3 + 4a^2b^3 - 8a^3b - 8ab^3 = 7a^4b + 2a^3b^2 - 4a^2b^3 - 8a^3b - 8ab^3

Таким образом, мы видим, что (а+b)^4 - (a-b)^4 - 8ab(a^2 + b^2) = 7a^4b + 2a^3b^2 - 4a^2b^3 - 8a^3b - 8ab^3. Тождество (а+b)^4 - (a-b)^4 = 8ab(a^2 + b^2) не соблюдается.

Ответ: Тождество (а+b)^4 - (a-b)^4 = 8ab(a^2 + b^2) неверно.