Question

Уравнение: lg^2 * x - 3lg(10x)=1

Answer 1

$lg^2 x - 3lg(10x) = 1\\ lg^2 x - 3lg10-3lgx = 1\\ lg^2 x - 3lg x - 4 = 0\\ lg x = t\\ t^2 -3t - 4 = 0\\ D = 9 +16 =25\\ t_1 = (3+5)/2 = 4\\ t_2 = (3-5)/2 = -1\\ lg x = 4, x = 10000\\ lg x = -1, x = 1/10$

 

Answer 2

Давайте решим уравнение \( \lg^2(x) - 3\lg(10x) = 1 \), где \(\lg\) - логарифм по основанию 10.

Для удобства введем замену переменной. Пусть \( u = \lg(x) \), тогда уравнение примет вид:

\[ u^2 - 3(u + 1) = 1 \]

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

\[ u^2 - 3u - 3 = 1 \]

Теперь приведем уравнение к квадратному виду:

\[ u^2 - 3u - 4 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение. Можно воспользоваться формулой для решения квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \):

\[ u = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

В данном случае \( a = 1, b = -3, c = -4 \). Подставим значения:

\[ u = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(-4)}}{2(1)} \]

\[ u = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} \]

\[ u = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2} \]

Таким образом, получаем два решения:

\[ u_1 = \frac{3 + 5}{2} = 4 \]

\[ u_2 = \frac{3 - 5}{2} = -1 \]

Теперь вернемся к исходной переменной \( x \) с учетом замены \( u = \lg(x) \):

1. Для первого решения \( u_1 = 4 \):

\[ \lg(x) = 4 \]

Это означает, что \( x = 10^4 = 10000 \).

2. Для второго решения \( u_2 = -1 \):

\[ \lg(x) = -1 \]

Это означает, что \( x = 10^{-1} = \frac{1}{10} \).

Таким образом, уравнение \( \lg^2(x) - 3\lg(10x) = 1 \) имеет два решения: \( x = 10000 \) и \( x = \frac{1}{10} \).