Question

При каких значениях a уравнение (a+1)x^2-(3a-5)x +1=0 имеет единственный корень

Answer 1

Найдем дискриминант квадратного уравнения:
  $D=b^2-4ac=(3a-5)^2-4\cdot(a+1)=\\ \\ =9a^2-30a+25-4a-4=9a^2-34a+21$

Если D=0, то квадратное уравнение имеет 1 корень
$9a^2-34a+21=0\\ D=b^2-4ac=(-34)^2-4\cdot9\cdot21=400;\,\, \sqrt{D} =20\\ \\ a_1= \frac{-b- \sqrt{D} }{2a} = \frac{34-20}{2\cdot9} = \frac{7}{9} ;\\ \\ a_2= \frac{-b+ \sqrt{D} }{2a} = \frac{34+20}{2\cdot9} = 3$

Если $a=-1$ то уранение будет иметь один корень $8x+1=0$ отсюда $x= \frac{1}{8}$

Ответ: при $a= \frac{7}{9}$ и $a=3$ и $a=-1$

Answer 2

Уравнение с единственным корнем

Уравнение вида `(a + 1)x^2 - (3a - 5)x + 1 = 0` имеет единственный корень при определенных значениях `a`. Чтобы найти эти значения, мы должны найти условие, при котором дискриминант этого уравнения равен нулю. Дискриминант можно найти по формуле `D = b^2 - 4ac`, где `a`, `b` и `c` - коэффициенты уравнения.

Нахождение дискриминанта

В данном уравнении коэффициенты `a`, `b` и `c` равны: - `a + 1` - коэффициент при `x^2` - `- (3a - 5)` - коэффициент при `x` - `1` - свободный член

Подставим эти значения в формулу дискриминанта и приравняем его к нулю: `(3a - 5)^2 - 4(a + 1)(1) = 0`

Решение уравнения

Решим полученное уравнение относительно `a`: `(3a - 5)^2 - 4(a + 1)(1) = 0`

Выполним раскрытие скобок и приведение подобных членов: `9a^2 - 30a + 25 - 4a - 4 = 0`

Сгруппируем члены: `9a^2 - 34a + 21 = 0`

Нахождение корней уравнения

Для нахождения корней уравнения `9a^2 - 34a + 21 = 0` воспользуемся формулой дискриминанта: `D = b^2 - 4ac`. В данном случае `a = 9`, `b = -34` и `c = 21`.

Вычислим дискриминант: `D = (-34)^2 - 4(9)(21)`

Подставим значения и вычислим: `D = 1156 - 756` `D = 400`

Определение значений `a`

Дискриминант равен `400`. Чтобы уравнение имело единственный корень, дискриминант должен быть равен нулю. Таким образом, значения `a`, при которых уравнение `(a + 1)x^2 - (3a - 5)x + 1 = 0` имеет единственный корень, не существуют.

Вывод: Уравнение `(a + 1)x^2 - (3a - 5)x + 1 = 0` не имеет значений `a`, при которых оно имеет единственный корень.