Question

Решить уравнение log₇(x-2)-log₇(x+2)=1-log₇(2x-7)

Answer 1

 log₇(x-2)-log₇(x+2)=1-log₇(2x-7)  ОДЗ х-2>0  x>2
                                                             x+2>0  x>-2
                                                            2x-7> 0  x>3,5

 log₇(x-2)-log₇(x+2)=log₇7 -log₇(2x-7)

log₇ (x-2)/(x+2) = log₇ 7/(2x-7) т.к основания лог. одинаковы можно записать
(x-2)/(x+2) = 7/(2x-7)

(x-2)*(2x-7) = 7*(х+2)

2х²-4х-7х+14=7х+14

2х²-18х=0

2х(х-9)=0  ⇒2х=0 либо х-9=0
                    х=0            х=9
но ответ х=0 не подходит под ОДЗ ,значит  ответ   х=9

Answer 2

Давайте решим уравнение по шагам.

1. Начнем с использования свойств логарифмов. По свойству логарифма, разность логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму отношения аргументов. Таким образом, мы можем переписать уравнение следующим образом:

log₇((x-2)/(x+2)) = log₇(2x-7) - 1

2. Затем мы можем применить свойство равенства логарифмов. Если два логарифма с одинаковым основанием равны, то их аргументы также равны. Таким образом, мы можем переписать уравнение следующим образом:

(x-2)/(x+2) = 7^(log₇(2x-7) - 1)

3. Далее, мы можем упростить правую часть уравнения, используя свойство степени. По свойству степени, логарифм от основания, возведенный в степень, равен аргументу логарифма. Таким образом, мы можем переписать уравнение следующим образом:

(x-2)/(x+2) = 7^(log₇(2x-7)) / 7

4. Теперь мы можем применить свойство взятия обратной функции для логарифма и получить следующее уравнение:

(x-2)/(x+2) = (2x-7) / 7

5. Решим это уравнение. Для начала умножим обе части уравнения на 7, чтобы избавиться от дробей:

7(x-2) = (x+2)(2x-7)

Раскроем скобки:

7x - 14 = 2x² - 3x - 14

Перенесем все члены в одну сторону:

2x² - 3x - 7x + 7x - 14 + 14 = 0

Упростим:

2x² - 3x = 0

6. Далее, мы можем факторизовать это уравнение:

x(2x - 3) = 0

Таким образом, у нас есть два возможных решения:

x = 0 или x = 3/2

Итак, решениями уравнения log₇(x-2)-log₇(x+2)=1-log₇(2x-7) являются x = 0 и x = 3/2.