Question

Помогите представить в виде произведения многочлен: 1) a³+a²-a-1; 2) 2х³-2хy²-8х²+8y²; 3) 5а²-5b²-15а³b+15аb³; 4) а²b²-1-b²+a². Заранее спасибо!!!!

Answer 1

1) a³+a²-a-1=а(а²-1)+(а²-1) = (а²-1)(а+1);
2) 2х³-2хy²-8х²+8y² = 2х²(х-4)-2у²(х-4)=(2х²-2у²)(х-4)=2(х-у)(х+у)(х-4);
3) 5а²-5b²-15а³b+15аb³ = 5(a-b)(a+b)-15ab(a²-b²)=5(a-b)(a+b)(1-3ab);
4) а²b²-1-b²+a²= (a²-(b+1)²) = (a-b-1)(a+b+1).

Answer 2

Конечно, помогу разложить данные многочлены:

1) \(a^3 + a^2 - a - 1\)

Давайте попробуем разложить его по схеме Горнера. Это метод деления многочлена на линейный множитель и нахождения остатка.

\[ \begin{align*} &a^3 + a^2 - a - 1 = 0 \\ &a^2(a + 1) - (a + 1) = 0 \\ &(a^2 - 1)(a + 1) = 0 \\ &(a - 1)(a + 1)(a + 1) = 0 \end{align*} \]

Итак, разложение этого многочлена на множители: \(a^3 + a^2 - a - 1 = (a - 1)(a + 1)^2\).

2) \(2x^3 - 2xy^2 - 8x^2 + 8y^2\)

Многочлен содержит две переменные \(x\) и \(y\), поэтому его нельзя просто так разложить на множители, как в первом случае. Однако, можно попробовать провести факторизацию по частям, выделив общие множители:

\[ 2x^3 - 2xy^2 - 8x^2 + 8y^2 = 2x^2(x - 4) - 2y^2(x - 4) \]

Теперь можно выделить общий множитель \(x - 4\):

\[ 2x^2(x - 4) - 2y^2(x - 4) = 2(x - 4)(x^2 - y^2) \]

Это окончательный результат разложения многочлена.

3) \(5a^2 - 5b^2 - 15a^3b + 15ab^3\)

Давайте вынесем общие множители из первых двух и последних двух членов:

\[ 5a^2 - 5b^2 - 15a^3b + 15ab^3 = 5(a^2 - b^2) - 15ab(a^2 - b^2) \]

Теперь мы можем выделить общий множитель \(a^2 - b^2\):

\[ 5(a^2 - b^2) - 15ab(a^2 - b^2) = (5 - 15ab)(a^2 - b^2) \]

Это окончательный результат разложения многочлена.

4) \(a^2b^2 - 1 - b^2 + a^2\)

Давайте сгруппируем члены, содержащие одинаковые переменные:

\[ a^2b^2 - 1 - b^2 + a^2 = (a^2 - 1)(b^2 - 1) = (a - 1)(a + 1)(b - 1)(b + 1) \]

Это окончательное разложение многочлена.

Надеюсь, эти разложения помогут вам лучше понять структуру данных многочленов!