Question

7sin²x+4sin2x=7cos²x помогите)

Answer 1

4sin2x=7cos²x-7sin²x

4sin2x=7·(cos²x-sin²x)
4sin2x=7·cos2x
Делим на сos2x≠0
tg2x=7/4
2x=arctg(7/4)+πk, k∈Z   
x=(1/2)arctg(7/4)+(π/2)·k, k∈Z   

или


7sin²x+4·2sinx·cosx-7cos²x=0
Делим на cos²x≠0
7tg²x+8tgx-7=0
D=64-4·7·(-7)=64+196=260
tgx=(-8-2√65)/14  или    tgx=(-8+2√65)/14
tgx=(-4-√65)/7  или    tgx=(-4+√65)/7
х=artcg(-4-√65)/7 + πn, n∈Z    или  х=artcg(-4+√65)/7 + πm, m∈Z

Answer 2

Конечно, давайте разберем данное уравнение. Имеем:

\[7\sin^2(x) + 4\sin(2x) = 7\cos^2(x)\]

Мы знаем тригонометрический тождества, которые могут помочь в решении данного уравнения. Одним из них является тождество для синуса удвоенного угла:

\[\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)\]

Используем это тождество в уравнении:

\[7\sin^2(x) + 4(2\sin(x)\cos(x)) = 7\cos^2(x)\]

Раскрываем скобки:

\[7\sin^2(x) + 8\sin(x)\cos(x) = 7\cos^2(x)\]

Теперь используем тождество \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\), чтобы выразить одну из переменных через другую. Мы можем выразить, например, \(\cos^2(x)\) через \(\sin^2(x)\):

\[\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x)\]

Подставим это обратно в уравнение:

\[7\sin^2(x) + 8\sin(x)(1-\sin^2(x)) = 7(1-\sin^2(x))\]

Раскроем скобки и упростим уравнение:

\[7\sin^2(x) + 8\sin(x) - 8\sin^3(x) = 7 - 7\sin^2(x)\]

Теперь соберем все члены уравнения в одну сторону:

\[15\sin^2(x) - 8\sin(x) + 7 = 0\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно \(\sin(x)\). Решим его, например, с использованием квадратного уравнения:

\[\sin(x) = \frac{8 \pm \sqrt{8^2 - 4 \cdot 15 \cdot 7}}{2 \cdot 15}\]

\[= \frac{8 \pm \sqrt{64 - 420}}{30}\]

\[= \frac{8 \pm \sqrt{-356}}{30}\]

Поскольку у нас под корнем отрицательное число, у нас нет действительных корней в обычном смысле. Таким образом, исходное уравнение не имеет решений в действительных числах.