Question

Найти предел функции квадратный корень из 7-x минус квадратный корень из 7+x и делим на квадратный корень из 7x

Answer 1

$= \lim_{x \to 0} \frac{ \sqrt{7-x}- \sqrt{7+x} }{ \sqrt{7x} }= \left\{ \frac{0}{0}\right\}= \lim_{x \to 0} \frac{ (\sqrt{7-x}- \sqrt{7+x})'}{ (\sqrt{7x})' }= \\ = \lim_{x \to 0} \frac{ -\frac{1}{2 \sqrt{7-x}}- \frac{1}{ 2\sqrt{7+x} } }{ \frac{ \sqrt{7} }{ 2\sqrt{x} } }= \\ = \lim_{x \to 0}( -\frac{ \sqrt{7+x} + \sqrt{7-x} }{2 \sqrt{49- x^{2}} } )( \frac{2 \sqrt{x} }{ \sqrt{7} } )= -\frac{ \sqrt{7+0} + \sqrt{7-0} }{2 \sqrt{49- 0^{2}} } * \frac{2 \sqrt{0} }{ \sqrt{7} }=0$

Answer 2

Функция, которую вы предоставили, выглядит следующим образом:

\[ f(x) = \frac{\sqrt{7-x} - \sqrt{7+x}}{\sqrt{7x}} \]

Чтобы найти предел этой функции, нужно определить, куда стремится функция, когда \(x\) приближается к определенному значению. Давайте проанализируем это.

Анализ функции

Поскольку функция содержит квадратные корни, мы должны учесть ограничения на значения \(x\), чтобы функция была определена. В данном случае, чтобы функция была определена, должны выполняться следующие условия:

1. \(7 - x \geq 0\) (корень из \(7 - x\) определен) 2. \(7 + x \geq 0\) (корень из \(7 + x\) определен) 3. \(7x > 0\) (корень из \(7x\) определен)

Из этих условий можно сделать следующие выводы:

1. \(x \leq 7\) 2. \(x \geq -7\) 3. \(x \neq 0\)

Теперь, когда мы учли ограничения, давайте найдем предел функции.

Нахождение предела

Чтобы найти предел функции, мы можем использовать алгебраические методы или графический анализ. В данном случае, я воспользуюсь алгебраическим методом.

Для начала, давайте упростим функцию, чтобы сделать ее более удобной для анализа. Мы можем умножить числитель и знаменатель на \(\sqrt{7 - x} + \sqrt{7 + x}\), чтобы избавиться от корней в числителе:

\[ f(x) = \frac{(\sqrt{7 - x} - \sqrt{7 + x})(\sqrt{7 - x} + \sqrt{7 + x})}{\sqrt{7x}(\sqrt{7 - x} + \sqrt{7 + x})} \]

Теперь мы можем сократить некоторые части:

\[ f(x) = \frac{7 - x - (\sqrt{7 - x})(\sqrt{7 + x})}{\sqrt{7x}(\sqrt{7 - x} + \sqrt{7 + x})} \]

Теперь давайте проанализируем числитель и знаменатель отдельно.

Анализ числителя

Числитель содержит два слагаемых: \(7 - x\) и \((\sqrt{7 - x})(\sqrt{7 + x})\).

1. \(7 - x\): Когда \(x\) приближается к \(-7\), \(7 - x\) приближается к \(14\). Когда \(x\) приближается к \(7\), \(7 - x\) приближается к \(0\). Таким образом, предел \(7 - x\) при \(x\) стремящемся к \(-7\) равен \(14\), а предел \(7 - x\) при \(x\) стремящемся к \(7\) равен \(0\). 2. \((\sqrt{7 - x})(\sqrt{7 + x})\): Поскольку \(7 - x\) и \(7 + x\) должны быть неотрицательными, мы можем сделать вывод, что \(x\) должно находиться в диапазоне \([-7, 7]\). Когда \(x\) приближается к \(-7\), \(\sqrt{7 - x}\) и \(\sqrt{7 + x}\) приближаются к \(0\). Когда \(x\) приближается к \(7\), \(\sqrt{7 - x}\) и \(\sqrt{7 + x}\) также приближаются к \(0\). Таким образом, предел \((\sqrt{7 - x})(\sqrt{7 + x})\) при \(x\) стремящемся к \(-7\) и \(7\) равен \(0\).

Исходя из этого, предел числителя равен \(14\) при \(x\) стремящемся к \(-7\) и \(0\) при \(x\) стремящемся к \(7\).

Анализ знаменателя

Знаменатель содержит \(\sqrt{7x}(\sqrt{7 - x} + \sqrt{7 + x})\). Давайте проанализируем его отдельно.

1. \(\sqrt{7x}\): Когда \(x\) приближается к \(-7\) или \(7\), \(\sqrt{7x}\) приближается к \(0\). Таким образом, предел \(\sqrt{7x}\) при \(x\) стремящемся к \(-7\) и \(7\) равен \(0\). 2. \(\sqrt{7 - x} + \sqrt{7 + x}\): Когда \(x\) приближается к \(-7\) или \(7\), \(\sqrt{7 - x}\) и \(\sqrt{7 + x}\) приближаются к \(0\). Таким образом, предел \(\sqrt{7 - x} + \sqrt{7 + x}\) при \(x\) стремящемся к \(-7\) и \(7\) равен \(0\).

Исходя из этого, предел знаменателя равен \(0\) при \(x\) стремящемся к \(-7\) и \(7\).

Итоговый предел

Теперь, когда мы проанализировали числитель и знаменатель отдельно, мы можем найти итоговый предел функции:

\[ \lim_{{x \to -7}} f(x) = \frac{{14}}{{0}} = \text{{неопределен}} \]

\[ \lim_{{x \to 7}} f(x) = \frac{{0}}{{0}} = \text{{неопределен}} \]

Итак, предел функции \(f(x)\) при \(x\) стремящемся к \(-7\) и \(7\) является неопределенным.

Заключение

В итоге, предел функции \(f(x) = \frac{{\sqrt{7-x} - \sqrt{7+x}}}{{\sqrt{7x}}}\) при \(x\) стремящемся к \(-7\) и \(7\) является неопределенным.