Question

Разложить на множители x^4+x³-4x²+x+1

Answer 1

Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов. Будем искать коэффициенты разложения, предположив, что все они целые. Поскольку свободный член у исходного многочлена равен единице, свободные члены множителей будут либо оба 1, либо оба (-1). рассмотрим сначала случай, когда они оба = 1, если разложение получить не удастся, рассмотрим второй случай. 

 x^4+x^3-4x^2+x+1=(x^2+ax+1)(x^2+bx+1).

Если перемножить многочлены в правой части, должен получиться тот же многочлен, что и слева⇒ в левой и правой части одинаковые коэффициенты при одинаковых степенях.

Коэффициент при x^3 слева = 1, справа = a+b; получили уравнение

a+b=1

Коэффициент при x^2 слева = -4, справа = 2+ab; получили уравнение 

ab=-6

Следовательно, a и b являются корнями квадратного уравнения

t^2-t-6=0 (спасибо господину Виету); t=3 или t= - 2; пусть a=3; b=-2

Проверив, что при выбранных a и b совпадают коэффициенты и при x, убеждаемся в справедливости разложения
 
 x^4+x^3-4x^2+x+1=(x^2+3x+1)(x^2-2x+1).

Если такого разложения недостаточно, можем разложить до скобок первой степени:

 x^4+x^3-4x^2+x+1=(x+3/2+√5/2)(x+3/2-√5/2)(x-1)^2

Answer 2

Для разложения на множители полинома \(x^4 + x^3 - 4x^2 + x + 1\) мы можем воспользоваться различными методами. Один из способов — использовать метод группировки.

Полином:

\[x^4 + x^3 - 4x^2 + x + 1\]

Давайте попробуем сгруппировать некоторые члены:

\[x^4 + x^3 - 4x^2 + x + 1 = (x^4 - 4x^2 + 1) + (x^3 + x)\]

Теперь мы можем выделить полные квадраты в первой группе:

\[x^4 - 4x^2 + 1 = (x^2 - 1)^2\]

И теперь мы можем сгруппировать общие множители:

\[(x^2 - 1)^2 + (x^3 + x)\]

Теперь давайте рассмотрим вторую группу. Видно, что в \(x^3 + x\) можно выделить общий множитель \(x\):

\[x^3 + x = x(x^2 + 1)\]

Таким образом, наш исходный полином можно представить в виде:

\[(x^2 - 1)^2 + x(x^2 + 1)\]

Теперь мы видим, что у нас есть сумма двух членов. Давайте рассмотрим каждый из них отдельно:

1. \((x^2 - 1)^2\) — это полный квадрат. Мы можем разложить его дальше:

\[(x^2 - 1)^2 = (x^2 - 1)(x^2 - 1)\]

Теперь используем формулу разности квадратов:

\[(x^2 - 1)(x^2 - 1) = (x - 1)(x + 1)(x - 1)(x + 1)\]

2. \(x(x^2 + 1)\) — это произведение монома и бинома. Мы оставляем это без изменений.

Таким образом, исходный полином можно разложить на множители следующим образом:

\[(x - 1)(x + 1)(x - 1)(x + 1) + x(x^2 + 1)\]

Если необходимо упростить выражение, то можно объединить одинаковые множители:

\[(x - 1)^2(x + 1)^2 + x(x^2 + 1)\]

Это и будет разложением вашего исходного полинома на множители.