Question

Пусть х1 и х2 - корни квадратного уравнения x^2-2х-6=0. Найдите значение выражения х1^2 * x2+х1 * х2^2 (икс один в квадрате умножить на икс два плюс икс один умножить на икс два в квадрате).

Answer 1

Теорема Виета:

 Если x1, x2 - корни квадратного уравнения ax^2+bx+c=0, то 

$\left \{ {{x_1+x_2=-\frac{b}{a}} \atop {x_1x_2=\frac{c}{a}}} \right.$

 

$x_1^2x_2+x_1x_2^2 = x_1x_2(x_1+x_2) = \frac{c}{a}*(-\frac{b}{a}) = -\frac{bc}{a^2}$ 

В данном квадратном уравнении а = 1, b = -2, c = -6, тогда искомое выражение:

$x_1^2x_2+x_1x_2^2 = -\frac{-2*(-6)}{1^2} = -12$

Answer 2

Дано квадратное уравнение x^2 - 2x - 6 = 0.

Найдем корни уравнения: D = (-2)^2 - 4 * 1 * (-6) = 4 + 24 = 28.

Так как D > 0, то уравнение имеет два различных корня: x1 = (2 + √28) / 2 = 1 + √7, x2 = (2 - √28) / 2 = 1 - √7.

Теперь найдем значение выражения x1^2 * x2 + x1 * x2^2: x1^2 * x2 + x1 * x2^2 = (1 + √7)^2 * (1 - √7) + (1 + √7) * (1 - √7)^2.

Вычислим каждое слагаемое отдельно: (1 + √7)^2 = 1^2 + 2 * 1 * √7 + (√7)^2 = 1 + 2√7 + 7 = 8 + 2√7, (1 - √7)^2 = 1^2 - 2 * 1 * √7 + (√7)^2 = 1 - 2√7 + 7 = 8 - 2√7.

Теперь подставим значения обратно в исходное выражение: x1^2 * x2 + x1 * x2^2 = (8 + 2√7) * (8 - 2√7) + (1 + √7) * (8 - 2√7)^2.

Вычислим каждое слагаемое отдельно: (8 + 2√7) * (8 - 2√7) = 8^2 - (2√7)^2 = 64 - 4 * 7 = 64 - 28 = 36, (8 - 2√7)^2 = 8^2 - 2 * 8 * 2√7 + (2√7)^2 = 64 - 32√7 + 28 = 92 - 32√7.

Теперь подставим значения обратно в исходное выражение: x1^2 * x2 + x1 * x2^2 = 36 + (1 + √7) * (92 - 32√7).

Вычислим это выражение: (1 + √7) * (92 - 32√7) = 92 + √7 * 92 - 32√7 - 32 * 7 = 92 + 92√7 - 32√7 - 224 = 164 + 60√7 - 224 = -60 + 60√7.

Таким образом, значение выражения х1^2 * х2 + х1 * х2^2 равно -60 + 60√7.