Question

На сборку поступило 10 дет. , среди которых 4 бракованные. Сборщик на удачу берет 3 детали. Найти вероятность событий: а) все взятые детали стандартные в) только 1 дет. среди взятых стандартная с) хотя бы 1 дет. из взятых стандартная

Answer 1

Всего деталей -10
Бракованных - 4
Стандартных - 6  (10-4=6)
$1) P(A)= \frac{C_6^3}{C_{10}^3}= \frac{ \frac{6!}{3!3!} }{ \frac{10!}{3!7!} }= \frac{4*5*6}{1*2*3*8*9*10}= \frac{1}{9}\\\\2)P(B)= \frac{C_6^1*C_4^2}{C_{10}^3}= \frac{6* \frac{4!}{2!2!} }{ \frac{10!}{3!7!} }= \frac{36}{120}= \frac{9}{30}$

3) Находим вероятность противоположного события: 
     Событие D: "Все взятые детали - бракованные"
     $P(D)= \frac{C_4^3}{C_{10}^3}= \frac{4}{120}= \frac{1}{30}$
    
     Теперь можно найти вероятность события С:
     "Хотя бы одна деталь  из взятых стандартная"
    $P(C)=1-P(D)=1- \frac{9}{30}= \frac{30-9}{30}= \frac{21}{30}= \frac{7}{10}$

Answer 2

Конечно, давай посчитаем вероятности для каждого из этих событий.

Итак, у нас есть 10 деталей, из которых 4 бракованные и 6 стандартные. Сборщик берет 3 детали наугад.

a) Все взятые детали стандартные

Для этого события нужно выбрать все три стандартные детали из шести доступных.

Вероятность выбрать первую стандартную деталь: \( \frac{6}{10} \) (6 стандартных деталей из 10). Вероятность выбрать вторую стандартную деталь: \( \frac{5}{9} \) (после взятия одной стандартной детали остается 5 из 9). Вероятность выбрать третью стандартную деталь: \( \frac{4}{8} \) (после взятия двух стандартных деталей остается 4 из 8).

Теперь умножим эти вероятности, чтобы получить общую вероятность: \[ \frac{6}{10} \times \frac{5}{9} \times \frac{4}{8} = \frac{1}{3} \]

б) Только 1 деталь среди взятых стандартная

Это может произойти несколькими способами: - Стандартная деталь, затем две бракованные - Две бракованные, затем стандартная - Бракованная, стандартная, бракованная

Давай посчитаем вероятность для каждого случая:

1. Стандартная, затем две бракованные: \[ \frac{6}{10} \times \frac{4}{9} \times \frac{3}{8} = \frac{1}{10} \] 2. Две бракованные, затем стандартная: \[ \frac{4}{10} \times \frac{6}{9} \times \frac{3}{8} = \frac{1}{10} \] 3. Бракованная, стандартная, бракованная: \[ \frac{4}{10} \times \frac{6}{9} \times \frac{4}{8} = \frac{1}{15} \]

Теперь сложим эти вероятности: \[ \frac{1}{10} + \frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{11}{30} \]

в) Хотя бы 1 деталь из взятых стандартная

Для этого события давай найдем вероятность, что не будет ни одной стандартной детали и вычтем ее из 1.

Вероятность не взять ни одной стандартной детали: \[ \frac{4}{10} \times \frac{3}{9} \times \frac{2}{8} = \frac{1}{15} \]

Теперь найдем вероятность наличия хотя бы одной стандартной детали: \[ 1 - \frac{1}{15} = \frac{14}{15} \]

Таким образом: а) Вероятность того, что все взятые детали стандартные, равна \( \frac{1}{3} \). б) Вероятность того, что только 1 деталь среди взятых стандартная, равна \( \frac{11}{30} \). в) Вероятность того, что хотя бы 1 деталь из взятых стандартная, равна \( \frac{14}{15} \).