Question

а) Решите уравнение sin^2x-2sinxcosx-3cos^2x=0 б) Укажите корни, принадлежащие отрезку [-π; π/2]

Answer 1

sin^2x+sinxcosx-3sinxcosx-3cos^2x=0

sinx*(sinx+cosx)-3cosx*(sinx+cosx)=0

(sinx-3cosx)*(sinx+cosx)=0

1) sinx-3cosx=0  :cosx не равное нулю

    tgx=3

    x=arctg3+Пn n принадлежит Z

2)sinx+cosx=0  :cosx не равное нулю

  tgx=-1

  x=-П/4+Пn  n принадлежит Z

 [-П;П/2]

 arctg3-П; arctg3; -П/4

Ответ: а) arctg3+Пn, n принадлежит Z; -П/4+Пn,n принадлежит Z   

          б) arctg3-П; arctg3; -П/4

Answer 2

Решение уравнения sin^2x - 2sinxcosx - 3cos^2x = 0

a) Для начала, давайте преобразуем уравнение, чтобы упростить его вид. Мы можем заменить sin^2x на 1 - cos^2x, используя тригонометрическое тождество sin^2x + cos^2x = 1. Таким образом, уравнение можно переписать в следующем виде:

(1 - cos^2x) - 2sinxcosx - 3cos^2x = 0

Раскроем скобки:

1 - cos^2x - 2sinxcosx - 3cos^2x = 0

Объединим подобные члены:

-4cos^2x - 2sinxcosx + 1 = 0

b) Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно переменной cosx. Чтобы решить его, воспользуемся квадратным трёхчленом:

-4cos^2x - 2sinxcosx + 1 = 0

Давайте назовём это уравнение (1) для удобства.

Мы можем использовать формулу дискриминанта, чтобы найти значения cosx, для которых уравнение (1) имеет корни:

Дискриминант (D) вычисляется по формуле: D = b^2 - 4ac

В нашем случае: a = -4, b = -2sinx, c = 1

Подставим значения в формулу дискриминанта:

D = (-2sinx)^2 - 4(-4)(1) D = 4sin^2x + 16

c) Теперь нам нужно найти значения sinx, для которых дискриминант D больше или равен нулю. Мы хотим найти значения sinx, чтобы уравнение (1) имело корни.

D >= 0 4sin^2x + 16 >= 0

Разделим неравенство на 4:

sin^2x + 4 >= 0

Так как квадрат синуса неотрицателен, то данное неравенство выполняется для любых значений sinx.

d) Следовательно, уравнение (1) имеет корни для любых значений cosx на отрезке [-1, 1]. Чтобы найти корни, нам нужно решить уравнение:

-4cos^2x - 2sinxcosx + 1 = 0

Если мы рассмотрим каждое значение cosx на отрезке [-1, 1], мы найдем соответствующие значения sinx и получим пары значений (sinx, cosx), которые являются корнями уравнения.

Например, когда cosx = -1, мы можем решить уравнение и получить sinx = 0. Таким образом, одна пара корней будет (0, -1).

Аналогично, когда cosx = 1, мы также получаем sinx = 0. Таким образом, другая пара корней будет (0, 1).

Таким образом, корни уравнения sin^2x - 2sinxcosx - 3cos^2x = 0, принадлежащие отрезку [-π; π/2], будут следующими парами: (0, -1) и (0, 1).