Question

Даны четыре вектора а =(1; 2; 1), b =(2; -1; 3), c =(3; -1; 4), e =(5; 1; 6) . Показать, что векторы a, b, c образуют базис, и найти координаты вектора e в этом базисе.

Answer 1

A,b,c могут считаться базисом, если определитель из столбцов их координат не равен 0.       4  3  -1det( 5  0   4)  =  -3*(5*2-4*2) - 1*(4*4-(-1)*5) = -27 - не равен 0, значит вектора        2  1   2a,b,c образуют базис, что и требовалось показать.Вектор d представим в виде:d = p*a + q*b + r*cТак как координаты d заданы, получим систему уравнений для коэффициентов p,q,r:4p + 3q - r = 55p + 4r = 72p + q + 2r = 8 q = 8-2p-2r    тогда получим систему 2p+7r=19                                                         5p+4r=7Решив, получим: p = -1,  r = 3   и тогда q = 4Значит разложение выглядит так:d = -a + 4b + 3c.     

Answer 2

Для того чтобы показать, что векторы a, b, c образуют базис, необходимо проверить два условия: линейную независимость и спан.

Линейная независимость

Векторы a, b, c являются линейно независимыми, если единственное решение линейного уравнения:

k1 * a + k2 * b + k3 * c = 0

является тривиальным решением, где k1, k2, k3 - произвольные коэффициенты.

Для проверки линейной независимости векторов a, b, c, необходимо составить систему линейных уравнений и решить ее:

k1 * a + k2 * b + k3 * c = 0

Подставляем значения векторов a, b, c:

k1 * (1; 2; 1) + k2 * (2; -1; 3) + k3 * (3; -1; 4) = (0; 0; 0)

Раскрываем скобки:

(k1 + 2k2 + 3k3; 2k1 - k2 - k3; k1 + 3k2 + 4k3) = (0; 0; 0)

Получаем систему линейных уравнений:

k1 + 2k2 + 3k3 = 0
2k1 - k2 - k3 = 0
k1 + 3k2 + 4k3 = 0

Решим эту систему линейных уравнений.