Question

Ctg(x) - tg(x) + 2( 1/(tg(x)+1) + 1/(tg(x)-1) ) = 4

Answer 1

Ctgx-tgx=1/tgx-tgx=(1-tg²x)/tgx=2*(1-tg²x)/2tgx=2/tg2x
2*(1/(tgx+1) +1/(tgx-1))=2*(tgx-1+tgx+1)/(tg²x-1))=2*2tgx/(tg²x-1)=-2tg2x
2/tg2x -2tg2x=4
2-2tg²2x-4tg2x=0    tg2x≠0
tg²2x+2tg2x-1=0
tg2x=a
a²+2a-1=0
D=4+4=8
a1=(-2-2√2)/2=-1-√2⇒tg2x=-1-√2⇒2x=-arctg(1+√2)+πn⇒x=-1/2arctg(1+√2)+πn/2
a2=(-2+2√2)/2=√2-1⇒tg2x=√2-1⇒2x=arctg(√2-1)+πn⇒x=1/2arctg(√2-1)+πn/2

Answer 2

Для начала давайте преобразуем данное уравнение, чтобы найти его решение.

Преобразование уравнения

Мы имеем уравнение: \[ \cot(x) - \tan(x) + 2 \left( \frac{1}{\tan(x)+1} + \frac{1}{\tan(x)-1} \right) = 4 \]

Для упрощения решения можно использовать тригонометрические тождества: \[ \cot(x) = \frac{1}{\tan(x)} \] \[ \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \]

Подстановка значений

Теперь подставим данные значения в уравнение: \[ \frac{1}{\tan(x)} - \tan(x) + 2 \left( \frac{1}{\tan(x)+1} + \frac{1}{\tan(x)-1} \right) = 4 \]

Решение уравнения

Сначала упростим выражение: \[ \frac{1}{\tan(x)} - \tan(x) + 2 \left( \frac{1}{\tan(x)+1} + \frac{1}{\tan(x)-1} \right) = 4 \] \[ \frac{1}{\tan(x)} - \tan(x) + 2 \left( \frac{\tan(x)-1 + \tan(x)+1}{\tan^2(x)-1} \right) = 4 \] \[ \frac{1}{\tan(x)} - \tan(x) + 2 \cdot \frac{2\tan(x)}{\tan^2(x)-1} = 4 \] \[ \frac{1}{\tan(x)} - \tan(x) + \frac{4\tan(x)}{\tan^2(x)-1} = 4 \]

Теперь мы можем умножить обе стороны на \(\tan^2(x) - 1\) для упрощения уравнения: \[ (\tan^2(x) - 1) \cdot \left( \frac{1}{\tan(x)} - \tan(x) + \frac{4\tan(x)}{\tan^2(x)-1} \right) = 4 \cdot (\tan^2(x) - 1) \] \[ 1 - \tan^3(x) + 4\tan(x) = 4(\tan^2(x) - 1) \]

Это уравнение может быть решено численными методами или методами анализа, такими как метод дихотомии, метод Ньютона и другими. Если вам нужна численная оценка решения, пожалуйста, уточните это, и я могу предоставить код для решения этого уравнения численно.