Question

Решить неравенство: 1) √3/ 3-x² < 2/ √3-x 2)3/ x²-1 - 1/2 < 3/ 2x-2

Answer 1

1) √3/ 3-x² < 2/ √3-x
2/(√3-x)-√3/(√3-x)(√3+x)>0
(2√3+2x-√3)/(√3-x)(√3+x)>0
(2x+√3)/(√3-x)(√3+x)>0
x=-√3/2  x=√3  x=-√3
             +                      _                         +                  _
---------------(-√3)------------------[-√3/2]----------(√3)--------------------
x∈(-∞;-√3) U [-√3/2;√3)

2)3/ x²-1 - 1/2 < 3/ 2x-2
3/2(x-1)-3/(x-1)(x+1)+1/2>0
(3x+3-6+x²-1)/2(x-1)(x+1)>0
(x²+3x-4)/2(x-1)(x+1)>0
x²+3x-4=0⇒x1+x2=-3 U x1*x2=-4⇒x1=-4 U x2=1
(x+4)(x-1)/2(x-1)(x+1)>0
(x+4)/2(x+1)>0
x=-4  x=-1
           +                  _                      +
-------------(-4)----------------(-1)---------------(1)---------------
x∈(-∞-4) U (-1;1) U (1;∞)

Answer 2

Для решения данного неравенства, мы будем использовать алгебраические методы для упрощения и анализа выражений. Давайте рассмотрим каждое неравенство по отдельности.

Неравенство 1: √3/3 - x² < 2/√3 - x + 2

Для начала, давайте упростим каждую сторону неравенства:

Левая сторона: √3/3 - x²

Правая сторона: 2/√3 - x + 2

Мы можем начать с упрощения правой стороны. Для этого, давайте найдем общий знаменатель для дробей в правой стороне:

2/√3 - x + 2 = (2√3)/(√3*√3) - (x√3)/(√3*√3) + 2(√3)/(√3*√3) = (2√3)/(3) - (x√3)/(3) + (2√3)/(3) = (4√3 - x√3 + 2√3)/(3) = (6√3 - x√3)/(3)

Теперь мы можем переписать неравенство:

√3/3 - x² < (6√3 - x√3)/(3)

Для дальнейшего упрощения, давайте умножим обе стороны на 3, чтобы избавиться от знаменателей:

3(√3/3 - x²) < 3(6√3 - x√3)/(3)

Теперь мы получаем:

√3 - 3x² < 6√3 - x√3

Давайте объединим подобные термины:

√3 + x√3 - 3x² < 6√3

Теперь, чтобы упростить это неравенство еще больше, давайте вынесем общий множитель √3:

√3(1 + x - 3x²) < 6√3

Теперь мы можем сократить √3 с обеих сторон:

1 + x - 3x² < 6

Теперь мы получили квадратное уравнение:

-3x² + x + 1 < 6

Неравенство 2: 3/x² - 1 + 1/2 < 3/(2x - 2)

Давайте рассмотрим эту неравенство по аналогии с предыдущим.

Перепишем данное неравенство:

3/x² - 1 + 1/2 < 3/(2x - 2)

Для упрощения правой стороны, давайте найдем общий знаменатель:

3/x² - 1 + 1/2 = (6 - 2x² + x²)/(2x - 2)

Теперь мы можем переписать неравенство:

(6 - 2x² + x²)/(2x - 2) < 3/(2x - 2)

Умножим обе стороны на (2x - 2), чтобы избавиться от знаменателей:

(6 - 2x² + x²) < 3

Теперь объединим подобные термины:

6 - x² < 3

Перенесем все на одну сторону:

x² - 3 > 0

Теперь, давайте рассмотрим оба неравенства вместе:

-3x² + x + 1 < 6 x² - 3 > 0

Мы можем попробовать решить эти неравенства графически или численно, используя методы, такие как график функции или использование численного метода, например, метод Ньютона.

Обратите внимание, что решение неравенств может включать несколько интервалов, и требуется дополнительный анализ, чтобы найти точные значения x, удовлетворяющие неравенствам.