Question

Знайти значення а , при яких рівняння має дійсний роз вязок. Вказати знаки коренів:x^2-2(a-1)x+2a+1=0

Answer 1

x^2-2(a-1)+2a+1=0

D=b^2-4ac

D=4(a-1)^2-4(2a+1)=4(a^2-2a+1)-8a-4=4a^2-8a+4-8a-4=4a^2-16a

1) D<0,  4a^2-16a<0

              a^2-4a<0

              0<a<4, то уравнение не имеет действительных корней

2) D=0,  4a^2-16a=0

              a^2-4a=0

              a=0 или a=4, то уравнение имеет единственный корень, найдем их:

          если а=0, то х=2(а-1)/2=0-1=-1

          если а=4, то х=2(а-1)/2=4-1=3

 3) D>0,  4a^2-16a>0

               a^2-4a>0

                a<0

                a>4, то уравнение имеет два корня

x1=a-1-\sqrt{a^2-4a}<0

x2=a-1+\sqrt{a^2-4a}>0

Ответ: если 0<a<4 то уравнение не имеет действительных корней;

           если а=0, то х=-1<0
           если а=4, то х=3>0

           если а<0 или a>4, то уравнение имеет два корня  

                                                                x1=a-1-\sqrt{a^2-4a}<0

                                                                x2=a-1+\sqrt{a^2-4a}>0

Answer 2

x^2-2(a-1)x+2a+1=0

х = [2(а-1)±√(4(a-1)²-4(2a+1))]/2 = (a-1)±√(a²-2a+1-2a-1)=a-1±√[a(a-4)]

a(a-4)>=0

a>=4

a<=0

при a>=4  x>0

при а<=0  x<0

Answer 3

Для того чтобы найти значения параметра "а", при которых уравнение имеет действительные корни, нам нужно проанализировать дискриминант уравнения.

Уравнение имеет вид: x^2 - 2(a-1)x + 2a + 1 = 0

Дискриминант уравнения обозначается как D и вычисляется по формуле: D = b^2 - 4ac, где a, b и c - коэффициенты уравнения.

В данном случае у нас a = 1, b = -2(a-1) = -2a + 2 и c = 2a + 1.

Вычислим дискриминант:

D = (-2a + 2)^2 - 4(1)(2a + 1) = 4a^2 - 8a + 4 - 8a - 4 = 4a^2 - 16a

Теперь рассмотрим различные значения дискриминанта и определим при каких значениях "а" уравнение имеет действительные корни:

1. Если D > 0, то уравнение имеет два действительных корня. 2. Если D = 0, то уравнение имеет один действительный корень (корень кратности 2). 3. Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Теперь рассмотрим каждый из этих случаев подробнее:

1. D > 0 Когда дискриминант больше нуля, уравнение имеет два различных действительных корня. В нашем случае, чтобы D > 0, необходимо, чтобы 4a^2 - 16a > 0.

Разделим данное неравенство на 4:

a^2 - 4a > 0

Факторизуем это неравенство:

a(a - 4) > 0

Теперь рассмотрим значения "а", при которых это неравенство выполняется. Возможны два случая:

a > 0 и a - 4 > 0 или a < 0 и a - 4 < 0

Первый случай: a > 0 и a - 4 > 0 Из a > 0 следует, что a - 4 > 0 должно быть выполнено. То есть a должно быть больше 4.

Второй случай: a < 0 и a - 4 < 0 Из a < 0 следует, что a - 4 < 0 должно быть выполнено. То есть a должно быть меньше 4.

Таким образом, при значениях "а", для которых выполняется неравенство a > 4 или a < 0, уравнение будет иметь два действительных корня.

2. D = 0 Когда дискриминант равен нулю, уравнение имеет один действительный корень кратности 2. В нашем случае, чтобы D = 0, необходимо, чтобы 4a^2 - 16a = 0.

Разделим это уравнение на 4:

a^2 - 4a = 0

Факторизуем это уравнение:

a(a - 4) = 0

Таким образом, уравнение имеет один действительный корень, когда a = 0 или a = 4.

3. D < 0 Когда дискриминант меньше нуля, уравнение не имеет действительных корней. В нашем случае, чтобы D < 0, необходимо, чтобы 4a^2 - 16a < 0.

Разделим данное неравенство на 4:

a^2 - 4a < 0

Факторизуем это неравенство:

a(a - 4) < 0

Таким образом, уравнение не имеет действительных корней, когда 0 < a < 4.

Знаки корней:

- Если a > 4 или a < 0, уравнение имеет два действительных корня. - Если a = 0 или a = 4, уравнение имеет один действительный корень (корень кратности 2). - Если 0 < a < 4, уравнение не имеет действительных корней.

Надеюсь, это помогло! Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, дайте мне знать.