Question

В цилиндрическое ведро высотой 30 см до уровня 10 см налита вода. В это ведро из крана поступает 0,25 л воды в секунду. До какой высоты H (см) поднимается вода в ведре через t с, если 1 л воды поднимает уровень на 2 см? Задайте функцию H формулой. Каковы допустимые значения t? До какой высоты поднимается вода через: 5 с; 15 с; 25 с; 40 с? Через сколько секунд вода в ведре поднимается до: 16 см; 24 см; 28 см?

Answer 1

За t секунд поступает 0,25t л воды
1литр поднимает уровень воды  на 2 cм
0,25t л  поднимают уровень воды на 2·0,25t=0,5t
H=10+0,5t
t=5 с ,     Н=10+0,5·5=12,5 cм
t=15 с,    Н=10+0,5·15=17,5 cм
t= 25 с,   Н=10+0,5·25=22,5 cм
t= 40 с,    Н=10+0,5·40=30 cм

t=(Н-10)/0,5=2·(Н-10)
H = 16 см          t=2·(16-10)=12 с
Н = 24 см          t=2·(24-10)=28 с
Н = 28 см          t=2·(28-10)=36 с

Answer 2

Решение:

Для решения этой задачи мы можем использовать пропорциональность между объемом воды и изменением уровня в ведре.

Пусть H - высота, на которую поднимается вода в ведре через t секунд. Также дано, что 1 литр воды поднимает уровень на 2 см.

Мы знаем, что объем воды в ведре равен произведению площади основания ведра и высоты воды в ведре. Так как ведро цилиндрическое, площадь основания равна площади круга, которая вычисляется по формуле: S = π * r^2, где r - радиус основания ведра.

Пусть V - объем воды в ведре. Тогда V = S * H, где S - площадь основания, H - высота воды в ведре.

Также дано, что из крана поступает 0,25 л воды в секунду. Это означает, что объем воды в ведре меняется со временем по следующей формуле: dV/dt = 0,25.

Используя пропорциональность между объемом воды и изменением уровня в ведре, мы можем записать следующее соотношение: dH/dt = (2 см/л) * (dV/dt).

Теперь мы можем сформулировать задачу в виде дифференциального уравнения:

dH/dt = (2 см/л) * (dV/dt) dH/dt = (2 см/л) * (0,25 л/с) dH/dt = 0,5 см/с

Таким образом, скорость изменения высоты уровня в ведре равна 0,5 см/с.

Функция H(t):

Для определения функции H(t), которая описывает высоту воды в ведре в зависимости от времени t, мы можем использовать формулу для скорости изменения высоты:

H(t) = H0 + v * t,

где H0 - начальная высота воды в ведре (10 см), v - скорость изменения высоты (0,5 см/с), t - время (в секундах).

Таким образом, функция H(t) имеет вид:

H(t) = 10 + 0,5 * t.

Допустимые значения t:

Допустимые значения t - это все неотрицательные числа, так как мы рассматриваем только положительное время.

Поднятие воды через определенное время:

Чтобы определить, до какой высоты поднимается вода через определенное время, мы можем подставить значение времени t в функцию H(t).

Для t = 5 секунд: H(5) = 10 + 0,5 * 5 = 12,5 см

Для t = 15 секунд: H(15) = 10 + 0,5 * 15 = 17,5 см

Для t = 25 секунд: H(25) = 10 + 0,5 * 25 = 22,5 см

Для t = 40 секунд: H(40) = 10 + 0,5 * 40 = 30 см (максимальная высота ведра)

Время поднятия воды до определенной высоты:

Чтобы определить время, за которое вода поднимается до определенной высоты, мы можем решить уравнение H(t) = H.

Для H = 16 см: 16 = 10 + 0,5 * t 6 = 0,5 * t t = 12 секунд

Для H = 24 см: 24 = 10 + 0,5 * t 14 = 0,5 * t t = 28 секунд

Для H = 28 см: 28 = 10 + 0,5 * t 18 = 0,5 * t t = 36 секунд

Таким образом, время, за которое вода поднимается до 16 см, 24 см и 28 см, составляет соответственно 12 секунд, 28 секунд и 36 секунд.

Вывод:

- Функция H(t), описывающая высоту воды в ведре в зависимости от времени t, имеет вид H(t) = 10 + 0,5 * t. - Допустимые значения времени t - неотрицательные числа. - Вода поднимается в ведре до 12,5 см, 17,5 см, 22,5 см и максимальной высоты 30 см через соответственно 5 секунд, 15 секунд, 25 секунд и 40 секунд. - Время, за которое вода поднимается до 16 см, 24 см и 28 см, составляет соответственно 12 секунд, 28 секунд и 36 секунд.