Question

Решите методом интервалов неравенства

Answer 1

$\frac{x^2-4x-12}{x-2}\ \textless \ 0$
__________________________________
x²-4x-12=0
D=b²-4ac=16-4*1*(-12)=16+48=64
x1=$\frac{-b+ \sqrt{D} }{2a}= \frac{4+8}{2}=6$
x2=$\frac{-b- \sqrt{D} }{2a}= \frac{4-8}{2}=- \frac{4}{2}=-2$
x²-4x-12=(x-6)(x+2)
___________________________________

$\frac{(x-6)(x+2)}{x-2}\ \textless \ 0$
Нули функции: x=6, x=-2, x=2
Ответ: (-∞;-2)U(2;6)
График смотри во вложении.

Answer 2

Метод интервалов неравенств является одним из способов решения неравенств, основанным на разделении числовой прямой на интервалы и анализе значений выражения в каждом интервале.

Для решения неравенства методом интервалов, следует выполнить следующие шаги:

1. Запишите данное неравенство в стандартной форме, то есть выражение слева от неравенства должно быть равно нулю.

2. Разделите числовую прямую на интервалы, используя значения, при которых выражение в левой части неравенства меняет знак. То есть найдите значения, при которых выражение равно нулю.

3. Выберите по одной точке из каждого интервала и проверьте знак выражения в левой части неравенства на выбранных точках.

4. Составьте список интервалов, в которых выражение в левой части неравенства принимает положительные значения.

5. Составьте список интервалов, в которых выражение в левой части неравенства принимает отрицательные значения.

6. В зависимости от знаков в неравенстве, составьте решение неравенства.

Пример:

Решим неравенство x^2 - 4x + 3 > 0 методом интервалов.

1. Запишем неравенство в стандартной форме: x^2 - 4x + 3 > 0.

2. Найдем значения, при которых выражение равно нулю: x^2 - 4x + 3 = 0.

Решим это квадратное уравнение: (x - 1)(x - 3) = 0.

Получаем два значения: x = 1 и x = 3.

Таким образом, числовая прямая разбивается на три интервала: (-∞, 1), (1, 3), (3, +∞).

3. Проверим знак выражения на выбранных точках:

Для интервала (-∞, 1) выберем точку x = 0: (0)^2 - 4(0) + 3 = 3 > 0.

Для интервала (1, 3) выберем точку x = 2: (2)^2 - 4(2) + 3 = -1 < 0.

Для интервала (3, +∞) выберем точку x = 4: (4)^2 - 4(4) + 3 = 3 > 0.

4. Составим список интервалов с положительными значениями: (-∞, 1) и (3, +∞).

5. Составим список интервалов с отрицательными значениями: (1, 3).

6. Так как неравенство задает условие, при котором выражение должно быть больше нуля, решением неравенства будет объединение интервалов с положительными значениями: (-∞, 1) ∪ (3, +∞).

Таким образом, решением данного неравенства является интервал (-∞, 1) ∪ (3, +∞).